则电子的运动微分方程为
??evyB?eBy?x?m????eE?evxB?eE?eBx? ②-③-④ y?m??m???0?zeBxdvdydv?x由②m xy?eB,，即?vm?dydtdt0vvx?eBy?V⑤ m代入③整理可得
e2B2e????E?BV? ⑥ yy?2mmeB对于齐次方程???2y?0的通解 ymY1?A1coseBeBt?A2sint mm22非齐次方程的特解
Y2?m?E?BV? 2eB所以非齐次方程的通解
y?Y1?Y2?A1coseBeBmt?A2sint?2?E?BV? mmeBE?代入初始条件：t?0时，y?0得A1?m??V??
eB?B?t?0 时，vy?0得A2?0,故
y?m?E?eBmVmE⑦
?2?V??cost?eB?B?meBeB同理，把⑦代入⑤可以解出
x?Em?E?eB
t?t?V??sinBeB?B?m把⑦代入⑤
dxeB?m?E?eBmvmE??V?cost??2??V ???dtm?eB?B?meBeB?- 41 -
E?eBE?dx??V??cost?dt?dt
B?mB?x?m?E?eBEt?t?C ?V??sineB?B?mB代入初条件t?0时，x?0，得C?0.所以
x?m?E?eBEt?t） ?V??sineB?B?mB
1.23证 （a）在1.22题中，B?0时，则电子运动受力F?eEj电子的运动微分方程
??0x?m????eE ①-②-③ y?m??m???0?z对②积分
??yeEt?C1 ④ m对④再积分
y?eE2t?C1?C2 2m又
x?vt,z?0
故
?z?0?（C?C1?C2为一常数） ?eEx2?C?y?2mv?此即为抛物线方程.
?b?当E?0时
则电子受力
iF?ev?B?e?vx0jvy0kvz ?eBvyi?eBvxj B则电子的运动微分方程为
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??eBvyx?m?????eBvx ①-②-③ y?m??m???0?z同1.22题的解法，联立①-②解之，得
m,eB?x?Vsint??eBm ??y?mVcoseBt?eBm?于是
?mv? x?y????eB?222及电子轨道为半径的圆mV.
eB
1.24 解以竖直向下为正方向，建立如题1.24.2图所示坐标，
aaOTm
T?TTm?2?
T?T?2m?T??m?3?2mT??1?题1.24.1图 题1.24.2图
以①开始所在位置为原点.设①-②-③处物体所处坐标分别为y1,y2,y3，则3个物体运动微分方程为：
?1y?mg?T??m???2 ①-②-③ y?T??mg?T?m??2mg?T?2m??3y?由②于③与、之间是，即不可伸长轻绳连接，所以有y2??y3，即
?????? ④ yy- 43 -
之间用倔强系数k?mg弹性绳联结.
a故有
T??k?y1?y2?a??mg?y1?y2?a? ⑤ a由①⑤得
??1??yg?y1?y2??2g ⑥ a由②③④得
?2?mg ⑦ T??3m?y代入①，有
??1??3??2 ⑧ yy代入⑥，有
??1?y4gy1?g ⑨ 3a此即为简谐振动的运动方程. 角频率
??2所以周期
g 3a??解⑨得
2????3a gy1?A1cos?t?A2sin?t?3a 4以初始时③为原点，t?0时，y1?0,y?1?0.所以
y1??33acos?t?a ⑩ 44代入①得
?g? ?T??mg?1?cos2t?3a???联立-③④⑧⑩得
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?1g?
T?2mg?1?cos2t??33a???1.25解，选向下为正方向，滑轮刚停时物体所在平衡位置为坐标原点.建立如题.25.1图所示坐标系.
?OWy题2.15.1图
原点的重力势能设为0.设弹簧最大伸长?max.整个过程中，只有重力做功，机械能守恒：
W12?1W212???v?k????g?????k?max?00max0 ①-② 2g2?2g?W?k?0?联立①②得
?max??0?v0?0
g 弹簧的最大张力即为弹簧伸长最长时的弹力，Tmax为最大张力，即
Tmax?k?max??W?1???v0?? g?0??
1.26解 以绳顶端为坐标原点.建立如题1.26.1图所示坐标系.
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