（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当m??1时，C1的方程为x2?y2?a2；
当m?(?1,0)?(0,??)时，
C2的两个焦点分别为F1(?a1?m,0)，F2(a1?m,0).
对于给定的m?(?1,0)?(0,??)，C1上存在点N(x0,y0)(y0?0)使得 S?ma的充要条件是
?x02?y02?a2,y0?0, ①??12??2a1?my0?ma ②?2
2由①得0?y0?a，由②得y0?ma1?mma1?m，
当0??a，即1?52?m?0，或0?m?1?25时，
存在点N，使S?ma：
ma1?m1?521?522当?a，即?1?m?，或m?时，
不存大满足条件的点N. 当m????1?52??1?5?,0???0,?时， ??2????????????由NF1?(?a1?m?x0,?y0)，NF2?(a1?m?x0,?y0)， ?????????2222可得NF1?NF2?x0?(1?m)a?y0??ma ?????????令NF1?r1,NF2?r2，?F1NF2??,
2?????????ma2则由NF1?NF2?r1r2cos???ma，可得r1r2??，
cos?从而S?12r1r2sin???masin?2cos?22??12matan?，于是由S?ma，
22可得?12matan??ma，即tan???22mm，
综上可得： 当m???????1?52?2在C1上，存在点N，使得S?ma，且tanF1NF2?2; ,0?时，??当m??0,1?5?2?时，在C1上，存在点N，使得S?ma，且2?tanF1NF2??2;
???1?5??1?5?,?????时，在C1上，不存在满足条件的点N. ??2??2?当m???1,10.(2011年高考陕西卷理科17)（本小题满分12分） 如图，设P是圆珠笔x2?y2?25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且MD?45PD
（Ⅰ）当P的在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为长度。
【解析】：（Ⅰ）设M的坐标为(x,y),P，P的坐标为(xp,yp),
?xp?x,22xy52?2??1 由已知得?5?P在圆上，?x?(y)?25,即C的方程为
y?y,25164?p?445的直线被C所截线段的
（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为
45 的直线方程为y?4545(x?3)，设直线与C的交点为
A(x,y),B(x2,y2)，将直线方程y?(x?3)代入C的方程，得
x225?(x?3)252?1，
即x?3x?8?0。?x1?23?241,x2?3?241
?线段AB的长度为AB?(x1?x2)?(y1?y2)?22(1?1625)(x1?x2) 2?4125?41?415
注：求AB长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样给分。
11.(2011年高考重庆卷理科20)（本小题满分12分，第一问4分，第二问8分）
如图（20），椭圆的中心为原点O，离心率e?（Ⅰ）求该椭圆的标准方程。
?????????????（Ⅱ）设动点P满足OP?OM?2ON,其中M,N是椭圆上的点。直线OM与ON的斜
22，一条准线的方程为x?22。
率之积为?12。问：是否存在两个定点F1、F2，使得PF1?PF2为定值。若存在，求F1、F2的坐标；若不存在，说明理由。
2a解析：（Ⅰ）由e??,?22，解得a?2,c?c2ca22,b?a?c?2，
222故椭圆的标准方程为
x24?y22?1
????????????? （Ⅱ）设P?x,y?，M?x1,y1?,N?x2,y2?,则由OP?OM?2ON得
?x,y???x1,y1??2?x2,y2?，即x?x1?2x2,y?y1?2y2，
因为点M,N在椭圆
x24?y22?1上，所以x12?2y12?4,x22?2y22?4
故x2?2y2??x12?4x22?4x1x2??2?y12?4y22?4y1y2? ??x12?2y12??4?x22?2y22??4?x1x2?2y1y2? ?20?4?x1x2?2y1y2?，
设kOM,kON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，
kOM?kON=y1y2x1x22=-12，因此x1x2?2y1y2=0，
所以x?2y?20， 所以P点是椭圆x222?25?????y210?2?1上的点，设该椭圆的左右焦点为F1、F2，则由椭圆的
定义，PF1?PF2为定值，又因c?为F1?10,0、F2
?25???210?2?10，因此两焦点的坐标分别
??10,0
12．(2011年高考四川卷理科21) (本小题共l2分)
椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q． (I)当|CD | =
322时，求直线l的方程；
???????? (II)当点P异于A、B两点时，求证：OP?OQ为定值.
解析：由已知可得椭圆方程为
y22
?x?1，设l的方程为y?1?k(x?0),k为l的斜率.
22k??y?kx?1x?x??22?1?2?2?k22?(2?k)x?2kx?1?0??则?y2?x?1??xx??1?2122?2?k?224?y?y?22?1?2?k ?2?yy??2k?2122?2?k?(x1?x2)?(y1?y2)?8k?8(2?k)222?8k?8k(2?k)4222?92?k?2?k??2，
2?l的方程为y??2x?1.
y213.(2011年高考全国卷理科21)已知O为坐标原点，F为椭圆C:x?22?1在y轴正半轴
????????????上的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C交与A、B两点，点P满足OA?OB?OP?0.
(Ⅰ)证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q， 证明：A、P、B、Q四点在同一圆上. 【解析】： (Ⅰ)证明：由x?2y22?1得F(0,1)，l:y??2x?1，
?y?1?2x?22得4x?22x?1?0 由?y2?1?x??2设A(x1,y1),B(x1,y1),则x1?22?8?4?4?(?1)2?42?4
?2?64，x2?2?42?422?8?4?4?(?1)2?463?121?32?6，
y1??2??1?，
?????????????OA?OB?OP?0.
y2??2?6?1??222yp221?xp??(x1?x2)??2???(?)??1故点P在C上 2，xp?222?y??(y?y)??112?p（Ⅱ）法一：点P(?22,?1)，?P关于点O的对称点为Q，?Q(22,1)，
KAQKAP3?12)?11?y1?1?y1y?12即?PAQ?90?，同理??????1，
12222?621x1??x1??x1()?2224221(KPBKBQ??1即?PBQ?90，? ?PAQ??PBQ?180 A、P、B、Q四点在同一圆上.
??法二：由已知有Q??2?2x设A、B的中点为D?x3,y3? ,1?则PQ的中垂线为：y???2?2???x?x22x3?1???24??y?y1?y2??2x1?1??3∴?22????2x1?1??12
?21?21,?则AB的中垂线为：y?∴D? x??42?24???21?311'?PQO?,?∴|PO'|?|QO'|?则的中垂线与AB的中垂线的交点为? ?888??