?|21?'O??,?到直线AB的距离为?88?d????2?1???1|2????8???832?33 8|AB|??x1?x2?''2??y1?y2??23?x1?x2??4x1x2???322
∴|AO|?|BO|?311?|AB|?2即|AO'|?|BO'|?|PO'|?|QO'| ?d???8?2?2∴A、P、B、Q四点在同一圆上。
x214. (2011年高考江苏卷18)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆
4?y22?1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k （1）当直线PA平分线段MN，求k的值； （2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
P （3）对任意k>0，求证：PA⊥PB 【解析】（1）因为M(?2,0)、N(0,2),
22y B M A N C x 所以MN的中点坐标为(-1,),又因为直线PA平分线段MN， 所以k的值为?22.
?y?2x2424?(2)因为k=2,所以直线AP的方程为y?2x,由?x2y2得交点P(,)、A(?,?),
3333??1??42因为PC⊥x轴，所以C（,0)，所以直线AC的斜率为1，直线AB的方程为y?x?3223，所
以
|2?43|3=22.
32?2点P到直线AB的距离d=3
15．(2011年高考北京卷理科19)（本小题共14分）
已知椭圆G:x24?y?1.过点（m,0）作圆x?y?1的切线I交椭圆G于A，B两点.
222（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（II）将AB表示为m的函数，并求AB的最大值. 解：（Ⅰ）由已知得a?2,b?1, 所以c?a?b?223.
所以椭圆G的焦点坐标为(?3,0),(3,0)
ca32离心率为e??.
（Ⅱ）由题意知，|m|?1.
当m?1时，切线l的方程x?1，点A、B的坐标分别为(1,此时|AB|?
32),(1,?32),
3当m=－1时，同理可得|AB|?3
当|m|?1时，设切线l的方程为y?k(x?m),
?y?k(x?m),?22222由?x2得(1?4k)x?8kmx?4km?4?0
2?y?1.??4设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)，则
8km1?4k22x1?x2?,x1x2?4km?41?4k222
又由l与圆x2?y2?1相切,得|km|k?12?1,即mk22?k?1.
2所以|AB|?2(x2?x1)?(y2?y1) 64km24?222?(1?k)[43|m|m?32(1?4k)?4(4km?4)1?4k222]
?.
由于当m??3时，|AB|?43|m|m?343|m|m?323,
所以|AB|?2,m?(??,?1]?[1,??).
因为|AB|??43|m|?3|m|?2,
且当m??3时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.
16．(2011年高考福建卷理科17)（本小题满分13分）
已知直线l：y=x+m，m∈R。
（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
（II）若直线l关于x轴对称的直线为l?，问直线l?与抛物线C：x=4y是否相切？说明理由。
解析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程
思想、数形结
合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。 解法一：
（I）依题意，点P的坐标为（0，m） 因为MP?l，所以
0?m2?0?1??1，
2
解得m=2，即点P的坐标为（0，2） 从而圆的半径
r?|MP|?(2?0)?(0?2)?22,
22故所求圆的方程为(x?2)2?y2?8. （II）因为直线l的方程为y?x?m,
（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x?2)?y?r. 依题意，所求圆与直线l:x?y?m?0相切于点P（0，m），
2?2
?4?m2?r2,?则?|2?0?m|
?r,?2???m?2,解得?
??r?22.所以所求圆的方程为(x?2)2?y2?8. （II）同解法一。
解：⑴ 设Q(x,x?3)是线段l:x?y?3?0(3?x?5)上一点，则
5292(x?)?(3?x?5)，当x?3时，
22|PQ|?(x?1)?(x?4)?22d(P,l)?|PQ|min?5。
⑵ 设线段l的端点分别为A,B，以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，
则A(?1,0),B(1,0)，点集D由如下曲线围成 l1:y?1(|x|?1),l2:y??1(|x|?1)，
C1:(x?1)?y?1(x??1),C2:(x?1)?y?1(x?1)
2222y1A-1B1O-1x其面积为S?4??。
⑶ ① 选择A(1,3),B(1,0),C(?1,3),D(?1,0)，??{(x,y)|x?0} ② 选择A(1,3),B(1,0),C(?1,3),D(?1,?2)。
??{(x,y)|x?0,y?0}?{(x,y)|y?4x,?2?y?0}?{(x,y)|x?y?1?0,x?1}2
③ 选择A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)。
??{(x,y)|x?0,y?0}?{(x,y)|y?x,0?x?1}
?{(x,y)|x?2y?1,1?x?2}?{(x,y)|4x?2y?3?0,x?2}
2
B2.5yC3AyC3AyD-1OB1x-1O1xADB=C12D-2x