排队论也称随机服务系统理论，是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列(即排队)的现象以及合理协调“需求”与“服务”关系的一种数学理论。它以概率论为基础，是运筹学的一个重要分支。
一、基本概念
“排队”单指等待服务的顾客(车辆或行人)，不包括正在被服务的顾客；而“排队系统”既包括了等待服务的顾客，又包括了正在被服务的顾客。
2．排队系统的三个组成部分
1) 输入过程：就是指各种类型的顾客按怎样的规律到来。有：定长输入——顾客等时距到达；泊松输入——
顾客到达符合泊松分布或顾客到达时距符合负指数分布；爱尔朗输入——顾客到达时距符合爱尔朗分布。 2) 排队规则——指到达的顾客按怎样酌次序接受服务。有：损失制、等待制、混合制。 3) 服务方式——指同一时刻有多少服务台可按纳顾客，为每一顾客服务了多少时间。 服务时间的分布主要有以下几种：
①定长分布服务——每一顾客的服务时间都相等。
②负指数分布服务——各顾客的服务时间相互独立，服从相同的负指数分布。 ③爱尔朗分布服务——各顾客的服务时间相互独立，服从相同的爱尔朗分布。 3．排队系统的主要数量指标
1) 等待时间——从顾客到达时起至开始接受服务时为止的这段时间。 2) 忙期——服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台助工作强度。
3) 队长——有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，这是排队系统提供酌服务水平的一种衡量。 二、M/M/1系统
设顾客平均达到率为?，则到达的平均时距为1。排队从单通道接受服务后通过的平均服务率为?，则平均
?服务时间为1?。比率????叫作服务强度或交通强度或利用系数，可确定各种状态的性质。所谓状态，指的是
排队系统的顾客数。如果??1，并且时间充分，每个状态都按一定的非零概率反复出现。当??1时，任何状态都是不稳定的，而排队的长度将会变得越来越长。因此，要保持稳定状态即确保单通道排队能够消散的条件是??1(即
???)。
1．计算公式
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由于M/M/1系统排队等待接受服务的通道只有单独一条，也叫“单通道服务”系统。 （1）在系统中没有顾客的概率 P(0)?1?? （2）在系统中有n个顾客的概率 P(n)=?n(1??)
（3）系统中的平均顾客数 n??1??
（4）系统中顾客数的方差 ???(1??)2
（5）平均排队长度 q??21???n??
（6）非零平均排队长度 qw?1 1??（7）排队系统中的平均消耗时间 d?1n?
????（8）排队中的平均等待时间 w?11?d?
?(???)?三、M/M/N系统
多路排队多通道服务系统——指每个通道各排一个队，每个通道只为其相对应的一队顾客服务，顾客不能随意换队，如下图所示。这种情况相当于由N个M/M/1系统组成的系统，其计算公式亦由M/M/1系统的计算公式确定。
对于单路排队多通道服务的M/M/N系统，其计算公式如下：
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系统中没有顾客的概率 P(0)=1?K=0N-1k??N?k!N!1??
?N?k?N
??k?P(0)??k!系统中有K个顾客的概率 P(k)??k???P(0)k?N??N!N系统中的平均顾客数 n???k?N?N?1N!N?P(0)?1??N?2
平均排队长度 q?n??
系统中的平均消耗时间 d?q??1??n?
排队中的平均等待时间 w?
q
?
【例题8】某条道路上设一调查统计点，车辆到达该点是随机的，服从泊松分布，单向车流量为800辆／h。所有车辆到达该点要求停车领取OD调查卡，假设工作人员平均能在4s内处理一辆汽车，符合负指数分布。试估计在该点上排队系统中的平均车辆数、平均排队长度、非零平均排队长度、排队系统中的平均消耗时间以及排队中的平均等待时间。
解题：这是一个M/M/1排队系统：
??800辆/h ?=辆/s=900辆/h ?=14?800??0.89?1 系统是稳定的 ?900800?8辆
900?800系统中的平均车辆数 n??1????????平均排队长度 q?n???8?0.89?7.11辆
非零平均排队长度 qw?11??9.09辆
1??1?0.8938
系统中的平均消耗时间 d?n??8h/辆 800排队中的平均等待时间 w?d?1??36?4?32s/辆
【例题9】今有一停车场，到达车辆是60辆/h，服从泊松分布。停车场的服务能力为100辆/h，服从负指数分布。其单一的出入道可存车6辆，问该数量是否合适?
解题：这是一个M/M/1排队系统：
??60辆/h ?=100辆/h ?=?60??0.6?1 系统是稳定的 ?100因出入道存车量为6辆，如果存车量超过6辆的概率P（>6）很小(一放认为小于5％)，则为合适。反之，则为不合适。
P(0)?1???1?0.6?0.4 P(1)=?(1??)?0.6?0.4?0.24 P(2)=0.62?0.4?0.14 P(3)=0.63?0.4?0.09 P(4)=0.64?0.4?0.05 P(5)=0.65?0.4?0.03 P(6)=0.66?0.4?0.03
6P（>6）=1-P(?6)=1-?P(n)?1?0.97?0.03
n?1计算结果表明，排队车辆数超过6辆的可能性极小，故可认为该出入道的存车量是合适的。
【例题10】（1994）某停车场，到达车辆数是50辆/小时，停车场的服务能力为80辆/小时，其单一的出入道能容纳5辆车，问此出入道是否合适？
【例题11】（2006）某设左转专用道的信号灯控制十字交叉口，设左转专用相位，信号周期为40s，每周期内可通行左转车3辆，如果左转车流为220辆/小时，是否会出现延误？假定车辆到达符合泊松分布，这种延误在周期中所占的百分比是多少？
【知识点4】跟驰模型
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跟驰理论是运用动力学方法，研究在无法超车的单一车道上车辆列队行驶时，后车跟随前车的行驶状态的一种理论。它用数学模式表达跟驰过程中发生的各种状态。
跟驰理论研究的一个主要目的是试图通过观察各个车辆逐一跟驰的方式来了解单车道交通流的特性。这种特性的研究可用来检验管理技术和通讯技术，以预测短途车辆对市区交通流的影响、在稠密交通时使尾撞事故减到最低限度等。
一、车辆跟驰特性分析
1．制约性——紧随要求、车速条件和间距条件构成了一队汽车跟驰行驶的制约性。 2．延迟性（也称滞后性） 3．传递性 二、线性跟驰模型 三、线性跟驰模型的稳定性 1．局部稳定 2．渐进稳定 四、非线性跟驰模型 五、跟驰模型的一般公式 六、跟驰模型的应用 可用于判定交通的稳定性。 【知识点5】流体模拟理论
该理论运用流体力学的基本原理，模拟流体的连续件方程，建立车流的连续性方程。把车流密度的疏密变化比拟成水波的起伏而抽象为车流波。当车流因道路或交通状况的改变而引起密度的改变时，在车流中产生车流波的传播。通过分析车流波的传播速度，以寻求车流流量和密度、速度之间的关系。因此，该理论又可称为车流波动理论。
流体力学模拟理论是一种宏观的模型。它假定在车流中各单个车辆的行驶状态与它前面的车辆完全一样，这是与实际不相符的。尽管如此，该理论在“流”的状态较为明显的场合，如在分析瓶颈路段的车辆拥挤问题时，有其独特的用途。
一、车流连续性方程的推导
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