习 题 11-1
1．判断下列方程是几阶微分方程？
?dy?3（1）???ytant?3tsint?1； （2）(7x?6y)dx?(x?y)dy?0；
?dt?（3）x(y???)2?2yy??x?0； （4）xy????2(y??)4?x2y?0． 解 微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高阶数，叫做微分方程的阶．所以有，
（1）一阶微分方程； （2）一阶微分方程； （3）三阶微分方程； （4）三阶微分方程． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： （1）xy??2y，y?5x2；
（2）y???y?0，y?3sinx?4cosx； （3）y???2y??y?0，y?x2ex；
（4）(xy?x)y???x(y?)2?yy??2y??0，y?ln(xy)．
解 （1）将y??10x代入所给微分方程的左边，得左边?10x2，而右边＝5(2x2)?10x2?左边，所以y?5x2是xy??2y的解．
（2）将y??3cosx?4sinx，y????3sinx?4cosx代入所给微分方程的左边，得左边?(?3sinx?4cosx)?(3sinx?4cosx)?0?右边，所以y?3sinx?4cosx是所给微分方程y???y?0的解．
（3）将y?x2ex，y??2xex?x2ex，y???2ex?4xex?x2ex代入所给微分方程的左边，得
左边?(2ex?4xex?x2ex)?2(2xex?x2ex)?x2ex?2ex?0（右边），
所以y?x2ex不是所给微分方程y???2y??y?0的解． （4）对y?ln(xy)的两边关于x求导，得
y??1y??， xy2即
xyy??y?xy?．
1
再对x求导，得
yy??x(y?)2?xyy???y??y??xy??，
即
(xy?x)y???x(y?)2?yy??2y??0，
所以y?ln(xy)是所给微分方程(xy?x)y???x(y?)2?yy??2y??0的解．
3．确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件． （1） yx2?y2?C，
x?0 （2）y?(C1?C2x)e2x,y?5；
x?0?0，y?x?0 ?1．
解 （1）将x?0，y?5代入微分方程，得
C?02?52??25
所以，所求函数为y2?x2?25．
（2）y??C2e2x?2(C1?C2x)e2x?(2C1?C2?2C2x)e2x，将y别代入
x?0?0，y?x?0?1分
y?(C1?C2x)e2x和y??(2C1?C2?2C2x)e2x，
得
C1?0，C2?1，
所以，所求函数为y?xe2x．
4．能否适当地选取常数?，使函数y?e?x成为方程y???9y?0的解． 解 因为y???e?x，y????2e?x，所以为使函数y?e?x成为方程 y???9y?0的解，只须满足
?2e?x?9e?x?0，
即
(?2?9)e?x?0．
而e?x?0，因此必有?2?9?0，即??3或???3，从而当??3，或???3时，函数y?e3x,y?e?3x均为方程y???9y?0的解．
5．消去下列各式中的任意常数C,C1,C2，写出相应的微分方程． （1）y?Cx?C2； （2）y?xtan?x?C?；
2
（3）xy?C1ex?C2e?x； （4）(y?C1)2?C2x．
解 注意到，含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程；含两个独立常数的式子对应于二阶微分方程． （1）由y?Cx?C2两边对x求导，得
y??C，
代入原关系式y?Cx?C2，得所求的微分方程为
(y?)2?xy??y．
（2）由y?xtan(x?C)两边对x求导，得
y??tan(x?C)?xsec2(x?C)，
即
y??tan(x?C)?x?xtan2(x?C)．
而
y?tan(x?C)，故所求的微分方程为 xy?y?y???x?x??，
x?x?化简得
2xy??y?x2?y2．
（3）由xy?C1ex?C2e?x两边对x求导，得
y?xy??C1ex?C2e?x，
两边再对x求导，得
y??y??xy???C1ex?C2e?x，
这样便可得所求的微分方程为
xy???2y??xy．
（4）由(y?C1)2?C2x两边对x求导，得
2(y?C1)?y??C2，
(y?C1)2将C2?代入上式，并化简得
x2xy??y?C1，
3
对上式两边再对x求导，得
2y??2xy???y?，
故所求的微分方程为
2xy???y??0．
习 题 11-2
1．求下列微分方程的通解或特解：
（1）xy??ylny?0； （2）cosxsinydx?sinxcosydy?0； （3）y??xy??2(y2?y?)； （5）yy??3xy2?x，yx?0（4）x(1?y)dx?(y?xy)dy?0；
?1；
x?1?（6）2xsinydx?(x2?3)cosydy?0，y解 （1）分离变量，得
?． 611dy?dx， ylnyx两端积分，得
ln(lny)?lnx?lnC，
即
lny?Cx，
所以原方程的通解为
y?eCx．
注 该等式中的x与C等本应写为|x|与|C|等，去绝对值符号时会出现?号；但这些?号可认为含于最后答案的任意常数C中去了，这样书写简洁些，可避开绝对值与正负号的冗繁讨论，使注意力集中到解法方面，本书都做这样的处理．
（2）原方程分离变量，得
cosycosxdy??dx， sinysinx两端积分，得
ln(siny)??ln(sinx)?lnC，
即
4
ln(siny?sinx)?lnC，
故原方程的通解为
siny?sinx?C．
（3）原方程可化成
?(x?1)dy?2y2， dx分离变量，得
12dy??dx， y2x?1两端积分，得 ?即
y?1??2lnx|?1C|?， y1
2ln|x?1|?C是原方程的通解．
（4）分离变量，得
yxdy?dx， 1?yx?1两边积分，得
y?ln(1?y)?x?ln(x?1)?lnC，
即
ex?y?C(1?y)(x?1)
是原方程的通解．
（5）分离变量，得
y3y2?1dy?xdx，
两端积分，得
11ln(3y2?1)?x2?lnC， 62即
5