两端积分，得
lnp?lnC1?lnx，即y??p?再对两端积分，得
C1． xy?C1lnx?C2，即f(x)?C1lnx?C2．
习 题 11-6
1．下列函数组中，在定义的区间内，哪些是线性无关的． （1）ex，e?x； （2）3sin2x，1?cos2x； （3）cos2x，sin2x； （4）xlnx，lnx． 解 （1）因为y1?ex，y2?e?x满足：
y1ex??x?e2x?常数， y2e所以函数组ex，e?x是线性无关的．
（2）因为y1?3sin2x，y2?1?cos2x满足：
y13sin2x??3， y21?cos2x所以函数组3sin2x，1?cos2x是线性相关的．
（3）因为y1?cos2x，y2?sin2x满足：
y1cos2x??cot2x?常数， y2sin2x所以函数组cos2x，sin2x是线性无关的．
（4）因为y1?xlnx，y2?lnx满足：
y1xlnx??x?常数， y2lnx所以函数组xlnx，lnx是线性无关的．
2．验证y1?cos?x及y2?sin?x都是方程y????2y?0的解，并写出该方程的 通解．
????sin?x，y1?????2cos?x； 证明 由y1?cos?x，得y1 31
???cos?x，y1?????2sin?x． 由y2?sin?x，得y1可见，
yi????2sin?x?0 (i?1,2)，
故y1?cos?x及y2?sin?x都是方程y????2y?0的解．
又因为
y1?cot?x?常数，故y1?cos?x与y2?sin?x线性无关．于是所给方y2程的通解为
y?y1?y2?C1cos?x?C2sin?x．
3．验证y1?ex及y2?xex都是方程y???4xy??(4x2?2)y?0的解，并写出该 方程的通解．
22??2xex，y1???(2?4x2)ex； 证明 由y1?e，得y1??(1?2x2)ex，y2???(6x?4x3)ex． 由y2?xex，得y2因为
222x222???4xy1??(4x2?2)y1?(2?4x2)ex?4x?2xex?(4x2?2)ex?0； y1???4xy2??(4x2?2)y2?(6x?4x3)ex?4x?(1?2x2)ex?(4x2?2)xex?0 y2所以y1?ex及y2?xex都是方程y???4xy??(4x2?2)y?0的解．
又因为
22y2?x?常数，故y1?ex与y2?xex线性无关，于是所给方程的通解为 y122222222y?y1?y2?(C1?C2x)e．
4．若y1?3，y2?3?x2，y2?3?x2?ex都是方程
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)（f(x)?0）
x2当P(x)，Q(x)，f(x)都是连续函数时，求此方程的通解．
解 因为
y2?y1?x2，y3?y2?ex，
)对应齐次方程的特解．又因为所以x2及ex都是方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x 32
y3?y2ex?2?常数，所以y2?y1与y3?y2线性无关．因此，所给方程y2?y1xy???P(x)y??Q(x)y?f(x)的通解为
y?C1x2?C2ex?3．
习 题 11-7
1．求下列微分方程的通解．
（1）y???4y??0； （2）y???3y??10y?0； （3）9y???6y??y?0； （4）y???y?0；
解 （1）所给方程对应的特征方程为
r2?4r?0，
解之，得
r1?0，r2?4，
所以原方程的通解为
y?C1?C2e4x．
（2）所给方程对应的特征方程为
r2?3r?10?0
解之，得
r1?5，r2??2，
所以原方程的通解为
y?C1e5x?C2e?2x．
（3）所给方程对应的特征方程为
9r2?6r?1?0
解之，得
1r1?r2??，
3所以原方程的通解为
y?(C1?C2x)e1?x3．
33
（4）所给方程对应的特征方程为
r2?1?0，
解之，得
r1?i，r2??i，
所以原方程的通解为
y?C1cosx?C2sinx．
（5）所给方程对应的特征方程为
r2?6r?25?0，
解之，得
r1?3?4i，r2?3?4i，
所以原方程的通解为
y?e3x(C1cos4x?C2sin4x)．
（6）所给方程对应的特征方程为
r4?5r2?36?0，即(r2?9)(r2?4)?0
解之，得
r1,2??2，r3,4??3i，
所以原方程的通解为
y?C1e2x?C2e?2x?C3cos3x?C4sin3x．
2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）y???4y??3y?0,yx?0?6,y?x?0?10； （2）4y???4y??y?0,yx?0?2,y?x?0?0； （3）y???25y?0,yx?0?2,y?x?0?5； （4）y???4y??13y?0,yx?0?0,y?x?0?3． 解 （1）所给方程对应的特征方程为
r2?4r?3?0，
解之，得
r1?1，r2?3，
34
所以原方程的通解为
y?C1ex?C2e3x，
从而，
y??C1ex?3C2e3x，
代入初始条件yx?0?6,y?x?0?10，得
?C1?C2?6, ?C?3C?10,?12解得，
?C1?4, ?C?2,?2故所求特解为
y?4ex?2e3x．
（2）所给方程对应的特征方程为
4r2?4r?1?0，
解之，得
1r1,2??，
2所以原方程的通解为
y?(C1?C2x)e从而，
1?x2，
111?x?x?x1122y???C1e?C2e?C2xe2，
22代入初始条件yx?0?2,y?x?0?0，得
?C1?2,? ?1?C1?C2?0,??2解得，
?C1?2, ?C?1,?2 35