??UR?Ri?RCUC?,?di???, （1） ?UL??EL?L?LCUCdt?1?U?Q.C?C?根据回路电压定律，得
UR?UL?UC?E.
将(1)式代入上式，得
??LCUC???UC?E, RCUC变形，得
???UCER1??UCUC?msin?t. （2） LLCLC这就是串联电路中电容C上的电压UC(t)所满足的微分方程. 如果电容C 经充电后，撤去外接电源(即E = 0 )，方程(2)成为
???UCR1??UCUC?0. （3） LLC3. 在如图11-10所示的电路中，先将开关K拨向A，使电容充电，当达到稳定状态后再将开关拨向B．设开关K拨向A的时间t =0, 求t >0时回路中的电流i (t). 已知E=20伏，C=0.5法拉，L=1.6亨利，R=4.8欧姆，且it?0?0,didtt?0?25. 2图11-10
解 在电路R-L-C中各元件的电压降分别为
??UR?Ri,?1? U?Q,?CC?di?U??E?L.LL?dt?根据回路电压定律，得
UR?UL?UC?E.
将上述各式代入，得
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Ldi1?Ri?Q?E. dtC在上式两边对t求导，又因为
dQdt?i,所以有 Ld2ididt?Rdt?12Ci?0, 即
d2idt2?Rdi1Ldt?LCi?0 将R=4.8，L=1.6，C=0.5代入，得
d2idt2?3didt?54i?0. 方程（*）的特征方程为
r2?3r?54?0 特征根为
r??52,r112??2.
所以方程(*)的通解为
i?C?51e2t?C?12e2t.
为求得满足初始条件的特解，求导数得
5i???52C?t?1?1t1e22C2e2.将初始条件idit?0?0,dtt?0?252代入，得 ??C1?C2?0,??5?2C?12C?25 12?2.解得C1??254,C252?4.因此得回路电流为 i??25?5t?1t4e2?254e2.
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*） （
下图为电流i的图象．当开关K拨向B后，这回路中的反向电流i，先由0开始逐渐增大，达到最大值后又逐渐趋于零．
习 题 11-10
1．对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型．
（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术人数成正比，推广是无限的；
（2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低； （3）在第（2）问的前提下考虑广告媒体的传播作用． 解 设时刻采用新技术的人数为x(t)． （1）指数模型：
dx??x． dt图11-11
（2）Logistic模型：
dx?ax(N?x)，N为总人数． dt （3）广告等媒介在早期作用比较大，它对传播速度的影响与尚未采用新技术的人数成正比，在模型（2）的基础上，有
dx?(ax?b)(N?x)． dt 第（2）问和第（3）问的区别见下图．
（2） x? x （3） （3） （2） O
x
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O t
2．侦察机搜索潜艇．设t＝0时艇在O点，飞机在A点，OA＝6里．此时艇 潜入水中并沿着飞机不知道的某一方向以直线形式逃去，艇速20里/时，飞机以速度40里/小时按照待定的航线搜索潜艇，当且仅当飞到艇的正上方时才可发现它．
（1）以O点为原点建立极坐标系(r,?)，A点位于??0的向径上，见右图．分析图中由P、Q、R组成的小三角形，证明在有限时间内飞机一定可以搜索到潜艇的航线，是先从A点沿直线飞到某点P0，再从P0沿一条对数螺线飞行一周，而P0是一个圆周上的任一点．给出对数螺线的表达式，并画出一条航线的示意图；
（2）为了使整条航线是光滑的，直线段应与对数螺线在P0点相切，找出这条光滑的航线；
（3）在所有一定可以发现潜艇的航线中哪一条航线最短，长度是多少，光滑航线的长度又是多少？
解 （1）证明 记飞机速度u?40里/小时，艇速v?20里/时．设PR是所求航线上的一段，即当潜艇沿?航行时飞机、潜艇在(r,?)相遇（图1），那么当潜艇沿
O R(r?dr,??d?)
Q(r,??d?)
P(r,?)
?
A????航行时，二者必在(r??r,????)相遇，记PR弧长为ds，则
dsu??2，drv注意到(ds)2?(dr)2?(rd?)2，即可得到r?r0e(???0)/3，这是一条对数螺线，(r0,?0)是满足OP0?AP0/2的任意一点P0的坐标，而P0位于以(2,?)为圆心、半径为4里的圆周上．
飞机从A沿直线飞至P再沿螺线飞行，最远飞行一圈至P2，总能发现潜艇（图0，2中实线为飞机航线，虚线为潜艇航线）．
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R(r?dr,??d?)
Q(r,??d?) rd?P2
dr
ds
AO
P0 ?? P(r,?)
A
O
?
图 1
图 2
（2）考察对数螺线上任一点P的切线与该点的向径夹角?（图3），有cos?????0dr，rd?对于r?r0e3，夹角??tan?13??，而螺线起始点P0所在的圆周上只有?????点使与的夹角也是（图4），所以沿APPP23,APOP1?13的航线是光滑的． 11?????
O ?dr rd?? P(r,?)P3 ? ?P?23,?? 1?????? ?
图 3
A
O
6 图 4
A
（3）一定可以发现潜艇的航线是，直线段AP0加上螺线一圈P0P2（图2）．显
?然最短的航线是取P（2，0），沿螺线r?2e3飞行至P2*点．点P2*的向径r?2e0点为即为潜艇的航程，因为u?2v，故飞机最短航线的长度为2?2e同理，光滑航线的长度为2?23e2?32?32?3?150里．
?260里．
3???0如果计算螺线的长度，则需r?r0e
代入???0?2?0(dr)2?(rd?)2求积分．
总习题十一（A）
1．填空题
（1）已知y1?ex及y2?xex是微分方程y???p(x)y??q(x)y?0的解（其中
p(x)、q(x)都是已知的连续函数）则该方程的通解为____________；
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