u(x,y)??0dx??0xy012(x?y)dy 2111212?y， ?(x2y?y2)?xy
2224故所求方程的通解为
121xy?y2?C． 24（2）易知，P?3x2?6xy2，Q?4y3?6x2y．因为
?P?Q， ?12xy??y?x所以原给定的方程为全微分方程．而
u(x,y)??3xdx??(4y3?6x2y)dy
00x2y2 ?x3?y4?， 3x2y故所求方程的通解为
x3?y4?3x2y2?C．
2xy2?3x2（3）易知，P?3，Q?．因为 4yy?P6x?Q??4?， ?yy?x在y?0的区域内为全微分方程，故
xy?11?u(x,y)??2xdx???2?3x2?4?dy
01y??y?1x?x2?y2?1． ?x????3??3yyy??122y所求方程的通解为
x2?y2x2?y2（或， ?1?C1，?C）
y3y3即
x2?y2?Cy3．
2．用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解：
21
（1）(x2?y)dx?xdy?0； （2）y2(x?3y)dx?(1?3xy2)dy?0． 解（1）用
1乘方程，便得到了全微分方程 2xy?1?1?dx?dy?0， ?2?x?x?即
dx?ydx?xdy??d?x?x2?y???0． x?故通解为
x?y?C． x（2）用
1乘方程，便得到了全微分方程 2yxdx?1dy?3(ydx?xdy)?0， 2y?1??1?d?x2??d???3d(xy)?0， ?2??y??1?1d?x2??3xy??0，
y?2?故原方程的通解为
121x??3xy?C． 2y3．用积分因子法解下列一阶线性方程：
（1）xy??2y?4lnx； （2）y??ytanx?x． 解 （1）将原方程写成
y??224lnxy?， xxdx?x此方程两端乘以??e?x2后变成
x2y??2xy?4xlnx，
即
22
(x2y)??4xlnx，
两端积分，得
x2y??4xlnxdx?2x2lnx?x2?C，
故原方程的通解为
y?2lnx?1?C． x2?tanxdx?cosx，则方程变为 （2）方程两端乘以??e?y?cosx?ysinx?xcosx，
即
(ycosx)??xcosx，
两端积分，得
x?xd ycosx??xcosxsi?xnc?ox，s C故原方程的通解为
y?xtanx?1?C． cosx习 题 11-5
1．求下列微分方程的通解： （1）y???11(4)(5)x???y?y?0． ； （2）； （3）y?xe21?xx1dx?C1?arctanx?C1， 1?x2解（1）y???1 y???arctanx?C1?dx?C2?xarctanx?ln(1?x2)?C1x?C2．
2（2）y????xexdx?C1?xex?ex?C1，
x?2C?xxe?2xe? y???(xex?ex?C， 1)d1Cx?2CC1xC?2x)dC?3?xex?3ex? y??(xex?2xe?C12x?C2x?C3． 2（作为最后的结果，这里
C1也可以直接写成C1）． 2 23
（3）令z?y(4)，则有
dz1?z?0，可知z?Cx，从而有 dxxd4y?Cx， dx4再逐次积分，即得原方程的通解
y?C1x5?C2x3?C3x2?C4x?C5．
2．求下列微分方程的通解：
（1）y???y??x； （2）xy???y??0； （3）y3y???1?0； （4）y????y???y?． 解 （1）令y??p，则y???p?，且原方程化为
p??p?x．
3利用一阶线性方程的求解公式，得
dx??dxxp?e??xedx?C1?????e????xe?xdx?C1
? ?ex??xe?x?e?x?C1???x?1?C1ex． 即
p??x?1?C1ex，
再积分，得通解
1y??(?x?1?C1ex)dx??x2?x?C1ex?C2．
2（2）令y??p，则y???p?，且原方程化为
xp??p?0，
分离变量，得
dpdx??， px积分得
lnp?ln1?lnC1， x即
24
p?C1， x再积分，得通解
y??C1dx?C1ln|x|?C2． x（3）令y??p，则y???pdp，且原方程化为 dyy3pdp?1?0， dy分离变量，得
pdp?1dy， y3积分得
p2??1?C1， y2故
y??p??C1?再分离变量，得
112??Cy?1， 12y|y||y|dyC1y?1由于|y|?ysgn(y)，故上式两端积分，
2??dx．
sgn(y)?ydyC1y2?1???dx，即sgn(y)C1y2?1??C1x?C2，
两边平方，得
C1y2?1??C1x?C2?．
2（4）令y??p，则y???pdpdp?p3?p，即 ，且原方程化为pdydy?dp?p??(1?p2)??0 ?dy?若p?0，则y?C．y?C是原方程的解，但不是通解．
25