(3y?1)?Ce．
由定解条件yx?02161x2?1，知
(3?1)?C，即C?2，
1616故所求特解为
(3y?1)?2e，即3y2?1?2e3x．
（6）将方程两边同除以(x2?3)siny?0，得
2xcosydx?dy?0， 2x?3siny216161x22两端积分，得
2xcosydx??x2?3?sinydy?C1，
积分后得
， ln(x2?3)?ln(siny)?lnC （其中C1?lnC）
从而有
(x2?3)siny?C，
代入初始条件yx?1??，得 6C?4sin??2． 6因此，所求方程满足初始条件的特解为
(x2?3)siny?2，
2．一曲线过点M0(2,3)在两坐标轴间任意点处的切线被切点所平分，求此曲 线的方程．
解 设曲线的方程为y?f(x)，过点M(x,y)的切线与x轴和y轴的交点分别为
A(2x,0)及B(0,2y)，则点M(x,y)就是该切线AB的中点．于是有
y???2yx，即y??，且y(2)?3， 2xy分离变量后，有
6
11dy??dx， yx积分得
lny?lnC?lnx，
即
y?C． x由定解条件yx?2?3，有
C?6，
故y?
6
为所求的曲线． x
3．一粒质量为20克的子弹以速度v0?200（米/秒）打进一块厚度为10厘米 的木板，然后穿过木板以速度v1?80（米/秒）离开木板．若该木板对子弹的阻力与运动速度的平方成正比（比例系数为k），问子弹穿过木板的时间．
解 依题意有
mdv??kv2，vt?0?200， dt即
?1kdv?dt， v2m两端积分得，
1kk?t?C?t?C （其中20克＝0．02千克）， vm0.02代入定解条件vt?0?200，得
C?1， 200故有v?200．
10000kt?1设子弹穿过木板的时间为T秒，则
0.1??T0200dt
10000kt?1 7
200?ln(10000kt?1) 10000k0T?1ln(10000kT?1)， 50k又已知t?T时，v?v1?80米/秒，于是
80?200，
10000kT?1从而，
kT?0.00015，
为此有
0.1?Tln(1.5?1)，
50?0.00015所以
T?0.10.00075?0.0075??0.0008（秒）， ln2.50.9162故子弹穿过木板运动持续了T?0.0008（秒）．
4．求下列齐次方程的通解或特解：
（1）xy??y?y2?x2?0； （2）(x2?y2)dx?xydy?0；
x（3）(x?y)dx?3xydy?0； （4）(1?2e)dx?2e(1?)dy?0；
y332xyxy（5）x2dy?xy?y2，ydxx?1?1； （6）(y2?3x2)dy?2xydx?0， yx?0 ?1．
解 （1）原方程变形，得
y?y?y??????1，
x?x?2令u?y，即y?ux，有y??u?xu?，则原方程可进一步化为 xu?xu??u?u2?1，
分离变量，得
8
1u2?1du?1dx， x两端积分得
ln(u?u2?1)?lnx?lnC，
即
u?u2?1?Cx，
将u?
y
代入上式并整理，得原方程的通解为 x
y?y2?x2?Cx2．
（2）原方程变形，得
dy1??yx?dyx2?y2，即?． ?dxyxdxxy2令u?
y
，即y?ux，有y??u?xu?，则原方程可进一步化为 x
1?u2u?xu??，
u即
udu?1dx， x两端积分，得
12u?ln|x|?C1， 2将u?
y
代入上式并整理，得原方程的通解为 x
y2?x2(2ln|x|?C) （其中C?2C1）．
（3）原方程变形，得
dyx3?y3dy1?(yx)3，即?， ?22dx3xydx3(yx)令y?ux，有
dydu?u?x，则原方程可进一步化为 dxdx 9
du1?u3u?x?， 2dx3u即
3u21du?dx， 21?2ux两端积分，得
11?ln(1?2u3)?lnx?lnC， 22即
x2(1?2u3)?C，
将u?
y
代入上式并整理，得原方程的通解为 x
x3?2y3?Cx．
（4）显然，原方程是一个齐次方程，又注意到方程的左端可以看成是以变量的函数，故令u?xdxdu，即x?uy，有?u?y，则原方程可化为
dydyy(u?ydu)(1?2eu)?2eu(1?u)?0， dyx为y整理并分离变量，得
2eu?11du??dy， u2e?uy两端积分，得
ln(2eu?u)??lny?lnC，
即
2eu?u?C． y将u?x代入上式并整理，得原方程的通解为 y2ye?x?C．
xy 10