（5）原方程可化为
dyy?y?????． dxx?x?令u?ydydu，有?u?x，则原方程可进一步化为 xdxdxu?xdu?u?u2， dx2即
?11du?dx， u2x两端积分，得
1?ln|x|?C， u将u?
y
代入上式，得 x
x?ln|x|?C， y代入初始条件yx?1?1，得
C?1?ln1?1．
因此，所求方程满足初始条件的特解为
y?x．
1?ln|x|（6）原方程可写成
x2xdx1?32?2?0．
yydy令u?xdxdu，即x?uy，有?u?y，则原方程成为
dydyy1?3u2?2u(u?ydu)?0， dy分离变量，得
2u1du?dy， u2?1y 11
两端积分，得
ln(u2?1)?lny?lnC，
即
u2?1?Cy，
代入u?x并整理，得通解 yx2?y2?Cy3．
由初始条件yx?0?1，得C??1．于是所求特解为
y3?y2?x2．
?，?上任一点P(x,y)，5．设有连结点和A(1,1)的一段向上凸的曲线弧OA对于OA ?的方程． ?与直线段OP所围成图形的面积为x2，求曲线弧OA曲线弧OP解 设曲线弧的方程为y?y(x)，依题意有
?x01y(x)dx?xy(x)?x2，
2y 1 y A(1,1) P(x, y) y O x 1 x 上式两端对x求导，
y(x)?11y(x)?xy?(x)?2x， 22即得微分方程
y??y?4， x令u?
ydydu，有?u?x，则微分方程可化为 xdxdxu?xdudu4?u?4，即??， dxdxx积分得
u??4ln|x|?C，
因u?
y
，故有 x
y?x(?4ln|x|?C)．
又因曲线过点A(1,1)，故C?1．于是得曲线弧的方程是
12
y?x(1?4ln|x|)．
6．化下列方程为齐次方程，并求出通解：
（1）(x?y?1)dx?(4y?x?1)dy?0； （2）(x?y)dx?(3x?3y?4)dy?0． 解 （1）原方程可写成
dydx??x?y?14y?x?1， 令??x?y?1?0 ?4y?x?1?0，解得交点为x?1，y?0．作坐标平移变换x?X?1，有
dydx?dYd(X?1)?dYdX， 所以原方程可进一步化为
dYdX?Y?X4Y?X， 这是齐次方程．
设u?YdYX，则Y?uX，dX?u?XdudX，于是（13）式可化为
dYdX?Y/X?14Y/X?1， 即
u?XdudX?u?14u?1， 变量分离，得
4u?14u2?1du??1XdX， 两端积分，得
12ln(4u2?1)?12arctan(2u)??lnX?C1， 即
ln??X2(4u2?1)???arctan(2u)?C (C?2C1)，
13
y?Y，
将u?Yy?代入上式，得原方程的通解为 Xx?122?ln?4y?(x?1)???arctan2y?C． x?1（2）原方程可写成
dyx?y， ?dx4?3(x?y)该方程属于
dy?f(ax?by?c)类型，一般可令u?ax?by?c． dxdydu??1，则原方程可化为 dxdx令u?x?y，有
duu?1?， dx4?3u即
3u?4du?2dx， u?2积分得
3u?2lnu?2?2x?C，
将u?x?y代入上式，得原方程的通解为
x?3y?2lnx?y?2?C．
习 题 11-3
1．求下列微分方程的通解：
（1）y??2xy?xe?x； （2）xy??3y?x2； （3）tanx（4）y??2dy?y?5； dxyd??1； （5）(y2?6x)dy?2ydx?0； （6）?3??2． xlnxd??p(x)dx??p(x)dxdx?C? q(x)e解（1）y?e???????2xdx??e?x2?x2?2xdxxeedx?C ?e?????????xdx?C?
?Ce?x?212?x2xe． 2 14
（2）原方程可化为
y??3y?x， x故通解为
?3?3?1??xdx??xdx3?32y?exedx?C?xC???????Cx?x．
x?????（3）原方程可化为
dycosx5cosx?y?， dxsinxsinx故通解为
?cosx?cosx??dx???dx5cosx???sinx?sinxy?eedx?C? ??sinx?????5cosx??sinx??dx?C?Csinx?5． 2??sinx? （4）所给方程的通解为
11?1?xlnxdx??xlnxdxy?eedx?C??????lnx???lnxdx?C?
? （5）方程可化为
1C?x(xlnx?x?C)?x?． lnxlxndx6x?y2， ?dy2y即
dx31?x??y， dyy2故通解为
33??ydy?1??ydyx?e?yedy?C???
???2??11??y3???2dy?C?
?2y? 15