?1??y3??C?．
?2y?3d??3d??? （6） ??e???2e?d??C??e?3?2?e3?d??C
????2?2?? ?e?3??e3?C??Ce??3?．
3?3?2．求下列微分方程的特解：
dydy（1）?ytanx?secx，yx?0?0； （2）?ycotx?5ecosx，yx????4；
dxdx2dy2?3x2y?1，yx?1?0． （3）?dxx3解（1）y?e??tanxdx?secx?e??tanxdxdx?C??e?lncosx???????secxelncosxdx?C
?1cosx??secx?cosxdx?C??x?C， cosx代入初始条件x?0,y?0，得C?0．故所求特解为
y?x． cosx?cotxdx?cosx?cotxdxdx?C? （2） y?e???5e?e??? ?1sinx??5ecoxs?sixnxd?C??1?5ecoxs?C?， ?sinx代入初始条件x??,y??4，得C???1，故所求特解为 21?5ecosxy?，
sinx即
ysinx?5ecosx?1．
（3） y?e?23???3??dx?xx??23??1?1???????2?3lnx??3lnx??3??dx2xxx????xdx?C??edx?C? ??e??e???????? 16
??x12?1??e2?3x?3x21 ?xe??3dx?C??xe??ex?2?x???11?1?x12?x23x2 ?xe??2e?C???2?Cxe，
??3x211??1?d??2??C? ?x??2代入初始条件x?1,y?0，得C??1，故所求特解为 2e1?1?x3?x2y??1?e． ???2??3．求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(x,y)处的切线斜率等于
2x?y．
解 设曲线方程为y?y(x)，依题意有y??2x?y，即y??y?2x．从而
dx??dx?xy?e????2xedx?C??e????2xe?xdx?C
?x ?ex(?2x?e??x2e?C??)x?2?C2x．
由x?0，y?0，得C?2．故所求曲线的方程为
y?2(ex?x?1)．
4．设曲线积分?yf(x)dx?[2xf(x)?x2]dy在右半平面（x?0）内与路径无关，
L其中f(x)可导，且f(1)?1，求f(x)．
解 依题意及曲线积分与路径无关的条件，有
?[2xf(x)?x2]?[yf(x)]， ??x?y即
2f(x)?2xf?(x)?2x?f(x)．
记y?f(x)，即得微分方程及初始条件为
y??1y?1，yx?1?1． 2x于是，
17
11?1?2xdx??2xdxy?eedx?C????x?????xdx?C
? ?1?232C?． x?C?x???33x?x?1
代入初始条件x?1,y?1，得C?，从而有
3
f(x)?21． x?33x5．求下列伯努利方程的通解：
4dy2223（1）x?y?xy； （2）y??y?3xy；
dxx （3）
dy11?y?(1?2x)y4； （4）xdy?[y?xy3(1?lnx)]dx?0． dx33解（1）方程可以化为
y?2dy1?1?y?1． dxx令z?y?1，则
dzdydydz??y?2??．代入上面的方程，得 ，即y?2dxdxdxdx?dz1?z?1， dxx即
dz1?z??1， dxx其通解为
11??xdx???xdxz?e(?e)dx?C????Cx?xlnx，
??所以原方程的通解为
1?Cx?xlnx． y （2）原方程化为
y?43dy2?1?y3?3x2． dxx 18
4?dydz1?4dydz??3．代入上面的方程，得 令z?y，则??y3，即y3dx3dxdxdx?13?3dz2?z?3x2， dxx即
dz2?z??x2， dx3x其通解为
22??dx??3xdx?23xz?e)dx?C? ??(?xe??4???x??(?x3)dx?C?
??23??37?x?C?x3?．
7??23所以原方程的通解为
y?133?Cx?x3．
723 （3）原方程化为
y?4y??1?31y?(1?2x)． 33令z?y?3，则z???3y?4y?，于是原方程化为
z??z?1?2x，
其通解为
dx??dx??ex?(1?2x)e?xdx?C? z?e??(1?2x)edx?C?????????xx?(?2x?1)e?C??x?2?C1 ?ex?， ??所以原方程的通解为
y?3??2x?1?Cex．
（4）原方程化为
y??11y?(1?lnx)y3，即y?3y??y?2?1?lnx． xx 19
令z?y?2，则z???2y?3y?，则原方程化为
z??2z??2(1?lnx)， x其通解为
22??xdx??xdxz?e???2(1?lnx)edx?C?
???2?2(1?lnx)xdx?C? ?x?2????
21?2??x?2??x3(1?lnx)??x3?dx?C?
3x?3?2?2??x?2??x3(1?lnx)?x3?C?
9?3?22??x(1?lnx)?x?Cx?2，
39所以原方程的通解为
22y?2??x(1?lnx)?x?Cx?2，
39或写成
x24323??x?xlnx?C． y293习 题 11-4
1．求下列全微分方程的通解：
1（1）xydx?(x2?y)dy?0； （2）(3x2?6xy2)dx?(4y2?6x2y)dy?0；
22xy2?3x2（3）3dx?dy?0． 4yy解 （1）易知，P?xy，Q?12(x?y)．因为 2?P?Q?x?， ?y?x所以原给定的方程为全微分方程．而
20