合肥工业大学 2011－2012学年第一学期
高等数学习题册
参考解答
何先枝
2011 .10
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习题1?1 函数
?2?x,x?0,f(x)?1．设函数，求 ?x2,x?0,?（1）f(?1)，f(0)，f(1)； （2）
f(?x)?f(0)f(??x)?f(0)，（?x?0）．
?x?x【解】（1）f(?1)?(2?x)|x??1?1,f(0)?(2?x)|x?0?2,f(1)?2x|x?1?2；
?2?x?2?x?2?2,?x?0,f(?x)?f(0)???x （2）?????x,?x?0,
?x?(2??x)?2,?x?0??x?0.?1,?x?f(??x)?f(0)(2??x)?2???1(?x?0)。■
?x?x12．已知f()?x?1?x2，求f(x)．
x【解】令t?11111，则f(t)??1?2，故f(x)??1?2。■ xttxx3．证明：f(x)?2x?sinx在(??,??)内是严格递增函数． 【证】方法1（定义法）
∵对任意x1,x2?(??,??),x1?x2，有
f(x2)?f(x1)?(2x2?sinx2)?(2x1?sinx1)
x1?x2x?xsin21 22x?xx?x?2(x2?x1)?2?(?1)?sin21?2(x2?x1)?2?(?1)?21
22?2(x2?x1)?sinx2?sinx1?2(x2?x1)?2cos?x2?x1?0，其中用到?1?cosx,sinx?x(x?0)，
∴f(x)?2x在内是严格递增函数。 ?sinx(??,??) 方法2（导数法）
∵f?(x)?2?coxs?0(???x???) ∴f(x)??(??,??)。■
4．设f(x)在[?a,a]上是奇函数，证明：若f(x)在[0,a]上递增，则f(x)在[?a,0]上也递增． 【证】∵对任意x1,x2?[?a,0],x1?x2,a?0，有?x1,?x2?[0,a],?x1??x2，
∴由f(x)在[0,a](a?0)上单调增加可得：f(?x1)?f(?x2)。
又∵f(x)在[?a,a]上是奇函数，即f(?x1)??f(x1),f(?x2)??f(x2)， ∴?f(x1)??f(x2)，即f(x1)?f(x2)，故f(x)在[?a,0]上也是单调增加。■
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习题2?1 极限
1． 求下列极限：
(?2)n?3n； (1)limn??(?2)n?1?3n?1【解】分之分母同除3n，利用四则运算极限法则和幂极限可得
2(?)n?113L?lim?。■
n??2(?2)(?)n?333 (2)lim(1?n??111)(1?)???(1?)； 22223n【解】∵(1?11111)(1?)(1?)?[1?](1?) 223242(n?1)2n222?132?142?1(n?1)2?1n2?11?32?43?5(n?2)?n(n?1)(n?1)? ?2?2?2? ?2?2?2?2?234(n?1)2n2234(n?1)2n1111n?1n?1?????， 2111n2nn?11?。■ ∴L?limn??2n2?(3)lim[(1?r)(1?r2)?(1?r2)] (r?1)；
n??n(1?r)(1?r)(1?r2)?(1?r2)22【解】∵(1?r)(1?r)?(1?r)?
1?rnn?(1?r)(1?r)?(1?r)1?r， ???1?r1?r2n?1222n2n?11?r ∴L?lim?n??1?r(4)limx???1?limr2n??n?11?r?1。■ 1?rx(x?1?x)；
【解】∵x(x?1?x)?x(x?1?x)(x?1?x)?(x?1?x)x?x?1?x1， 11??1x ∴L?limx???11?。■ 211??1x(5)lim(x??131?)． 3x?1x?13?(x2?x?1)2?x?x2(1?x)(2?x)【解】L?lim ?lim?lim332x??1x??1x??1x?1x?1(1?x)(1?x?x)?lim2?x3??1。■
x??11?x?x232．求常数a和b，使得limx?0ax?b?2?1． x【解】∵limx?0ax?b?2?1，limx?0，
x?0x(ax?b?2)?b?2?0，即b?4。 ∴limx?0 于是，limx?0ax?b?20(ax?4?2)(ax?4?2) ?0??limx?0xx(ax?4?2)?limax1a?alim??1，
x?0x(ax?4?2)x?0ax?4?24∴a?b?4。■
3．若f(x)?1?e1?e1x1xf(x)，limf(x)，limf(x)． ，求lim??x?0x?0x?011xe???。 【解】∵lim????，lim????，∴lim?ex?0，limx?0xx?0xx?0x?0?11f(x)?lim 从而，lim??x?0x?01?e1?e1x1x?1?lime?x?01x1x?1，
1?lime?x?011?1lim?1t1?e1?et???etelimf(x)?lim?lim?lim???1， 1t???1?ett???11x?0?x?0??1limt?11?ext???eet11t?xxt故limf(x)不存在。■
x?0――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
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习题2?2 无穷小与无穷大
1．利用等价无穷小的代换求下列极限：
(1)limtan(2x)?ln(1?x)；
x?0sin(3x)?arctan(2x)2x?x1?。■
x?03x?2x3【解】L?lim(2)limx?02?1?cosx； 2sinx【解】L?lim(2?1?cosx)(2?1?cosx) 2x?0x?(2?1?cosx)12x1?cosx12?1?1。■ ?lim?lim?lim2x?0x?0x22?1?cosxx?0x22421?cos(sinx)． 2x?0x12sinx1sinx212【解】L?lim?(lim)?。■
x?0x22x?0x2 (3)lim?ln(1?2x),x?0,?x?2．设f(x)?? 确定正数a的值，使得limf(x)存在．
x?0?a?x?a?x,?1?x?0,?x?【解】∵limf(x)?lim??x?0x?0a?x?a?x21， ?lim??x?0xa?x?a?xaln(1?2x)2x?lim?2， ?x?0xx lim?f(x)?lim?x?0x?0 ∴当
11)?2，即a?时，limfx(存在。■
x?04a――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
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习题2?3 极限存在准则
1．计算下列极限：
tanx?sinx(1)lim； 3x?0xsinx11?cosxsinx11?cosx??)?limlimlim【解】L?lim(
x?0x?0xcosxx2xx?0cosxx?0x211?1?1??。■
22sin(x?2)(2)lim； 2x?2x?4