x2a22(7)y?x?a?ln(x?x2?a2)；
22【解】由四则运算求导法则与复合函数求导法则可得：
11a21122 y??(x?a?x??2x)??(1??2x)
22222222x?x?a2x?a2x?a?x2?a2。■
(8)y?arctanxa?a?x22．
【解】由复合函数求导法则与四则运算求导法则可得：
y??1?x1???22?a?a?x1(a?a2?x2)2?x2a?a2?x2?x????2?2x?2a2?x2
(a?a2?x2)2y???(aa2?x2?a2)?1。 2a 注意：也可先分母有理化，再求导。■
x22．设f(x)可导，求函数y?的导数。
f(x)2xx2f?(x)【解】y??。■ ?2f(x)f(x)133．设f(x)满足f(x)?2f()?，求f?(x)．
xx13【解】∵f(x)?2f()?，??①
xx11 ∴换x为可得：f()?2f(x)?3x。??②
xx11 由①②解得：f(x)?2?。于是，f?(x)??2。■
xxdydydy4．已知y?sin(x2)，求,2,3．
dxdxdxdy2xcosx2dx2xcosx2dydy22?2xcosx，2?cosx，3??【解】。■ 2dxdxdx3xdx3x2――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
―――――
习题3?3 高阶导数 1．设y?lnsecx，求y???．
【解】∵y??1?secxtanx?tanx，y???sec2x， secx ∴y????2se2cxtanx。■
2．设f(x)?g(x)，其中g是二阶可导函数，试求f??(x)． 【解】∵f?(x)?12xg?，∴f??(x)??143xg??1g??。■ 4xd2y
3．设y?1?xe，求2
dx
y．
x?0
【解】隐函数求导法。
对x求导，视y为x的函数：y??ey?xeyy?，??①
再对x求导，视y，y?均为x的函数：y???eyy??(eyy??xeyy?2?xeyy??)??②
∵在原方程中代入x?0可得：y(0)?1，由①可得：y?(0)?e，再由②可得：y??(0)?2e2。■
4．求下列函数的n阶导数y(n)： ； (1)y?eax (?为常数）
【解】∵y???e?x,y????2e?x,?，∴y(n)??ne?x。■ (2)y?1；
x2?3x?2(n)111?1???【解】∵y?，而??(x?1)(x?2)x?2x?1?x?a??(?1)nn!， n?1(x?a) ∴y(n)?1????x?2??(n)?1????x?1??(n)??11。■ ?(?1)nn!??n?1n?1?(x?1)??(x?2) (3)y?sin2x．
【解】∵y??2sinxcosx?sin2x，y???2cos2x?2sin(2x?y????22cos(2x??2)，
)?22sin(2x?2?)，??，
22(n?1)?]。■ ∴y(n)?2n?1sin2[x?2―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题3?4 隐函数与参变量函数的求导方法
??1．求下列函数的导数
dydx： (1)xy?ex?y ；
【解】对x求导，视y为x的函数：y?xy??ex?y(1?y?)，解得：
y??ex?y?y*y(x?1)x?ex?y?x(1?y)。 注：*利用原方程可以变形。■ (2x)y?yx．
【解】取对数得：ylnx?xlny，再对x求导，视y为x的函数：y?lnx?yx?lny?xyy?，xylny?y2得：y??xylnx?x2。■
2．证明：双曲线xy?a2上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积都等于2a2．【证】设切点为(x0,y0)，则
y???a2a2∵x2，∴y?(x0)??x2。
0ya2所求切线方程为y?xy0??x2(x?x0)，即02x?2/x?1。
02a0A?2x2a2于是，切线在两坐标轴上得截距分别为：0,B?x。
0S1122|AB|?2|2xa2从而，所求三角形面积为??0||x|?2a2。■
03．设??x?f?(t),其中f(t)二阶可导，求d2y?y?tf?(t)?f(t),dx2．
【解】参量函数求导法。 ∵
dyyt?f??tf???fdx?x?????t， t?f2d(y?)d(t) ∴dyd1dx2?dx(y?)?dtdx?ddt?。■ (f?)f??dtdt解 2??x?ln1?t2,dy4．设?求2．
dx??y?arctant,11t1???2t?y?，， t22221?t1?t1?td11()?221?t2dyyt?1dyddydttt ∴???3。■ ??，2?()?dxtdxdxdxtdxxt?tdt1?t2【解】∵xt???x?t(1?t)?0,5．求曲线?y在对应于t?0的点处的切线方程．
?te?y?1?0【解】当t?0时，x?0,y??1。
∵x?t(t?1)，∴xt??2t?1,
ey由te?y?1?0对t求导，视y?y(t)：e?teyt??yt??0，解得yt???。
1?teyyyydyyt?ey1于是，|t?0?|t?0???|t?0,x?0,y??1?e?1，故所求切线方程为 ydxxt?1?te2t?1y?e?1x?1。■
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
―――――
习题4?1 微分中值定理 ?1．证明：arctanx?arccotx?．
2【证】设f(x)?arctanx?arccotx（???x???），则
∵f?(x)?11?(?)?0(???x???)，从而，f(x)?C。 221?x1?x取点x?1可得f(1)?arctan1?arccot1??4??4??2?C，故在(??,??)内
arctanx?arccotx??2。■
2．设函数f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内可导．证明：至少存在一点???a,b?，使得
bf(b)?af(a)?f(?)??f?(?)．
b?a【证】作辅助函数F(x)?xf(x)，则
∵f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，
∴F(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内可导,且F?(x)?f(x)?xf?(x)。
于是，由拉格朗日中值定理可得：至少存在一点???a,b?，使得
F(b)?F(a)?F?(?)，
b?a即
bf(b)?af(a)?f(?)??f?(?)。■
b?a3．若f(x)在?a,b?上二阶可导，且f(x1)?f(x2)?f(x3)，其中a?x1?x2?x3?b，证明：在
(a,b)内至少存在一点c，使得f??(c)?0．
【证】∵f(x)在?a,b?上二阶可导，且f(x1)?f(x2)?f(x3)，
∴对f(x)分别在[x1,x2],[x2,x3]上应用罗尔定理可得：分别存在c1?(x1,x2)，c2?(x2,x3)，使得有：f?(c1)?f?(c2)?0。
再对f?(x)在[c1,c2]上应用罗尔定理可得：存在c?(c1,c2)?(a,b)，使得有：f??(c)?0。■
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题4?2 洛必达法则
1．求下列极限：
x?sinx(1)lim； 3x?0xL?rule1?cosxL?rulesinx10?lim?。■ 【解】L(0)?limx?0x?06x3x2611)； （2）lim(2?x?0xxtanx【解】???型不定式。
tanx?xtan~xtanx?x0L?sec2x?11tan2x1L?lim2?lim(0)?lim?lim2?。■
x?0xtanxx?0x?0x?0x33x23x?0x3通分（3）lim?x?0lncosax (a?0,b?0)；
lncosbx【解】
?型不定式。 ?法1（等价无穷小）
1?(ax)2ln[1?(cosax?1)]cosax?1a22原式=lim。 ?lim?lim?x?0?ln[1?(cosbx?1)]x?0?cosbx?1x?0??1(bx)2b22法2（洛必达法则）
atanax等价a2?原式?lim.■
bx?0?tanbx无穷小b2