（4）limx(a?b) (a?0,b?0)；
x??1x1x【解】0??型不定式。
at?bt0L?ruleatlna?btlnb(0)?lim原式?limt?0t?0t11t?1xcontinuity?lna?lnb?lna。■ b（5）lim(cosx?xsinx)x．
x?02【解】1?型不定式。幂指函数极限。由等价无穷小可得
原式?ex?0limln(cosx?xsinx)x2?esinxxx?0limcosx?1?xsinxx2（ln(1??)~?）
12?e。■
f(x?2h)?2f(x?h)?f(x)2． 设f??(x)存在且连续，求lim。 2h?0h【解】由洛必达法则可得：
L2f?(x?2h)?2f?(x?h)0L(0)?lim[2f??(x?2h)?f??(x?h)] 原式?limh?0h?02hx?0?elimcosx?1x2?limx?0?e1??12?f?连续?2f??(x)?f??(x)?f??(x)。■
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习题4?3 泰勒中值定理 1．写出f(x)?xlnx在x0?1处带拉格朗日型余项的二阶泰勒展开式． 【解】∵f?(x)?lnx?1，f??(x)?11，f???(x)??2， xx f(1)?0，f?(1)?f??(1)?1，f???(?)?? ∴由泰勒公式可得： f(x)?f(1)?f?(1)(x?1)?1?2，
f??(?)(x?1)2（?介于x与1之间）， 2!11即xlnx?(x?1)?(x?1)2?2(x?1)3（?介于x与1之间）。■
26?2．写出f(x)?xex的n阶麦克劳林公式． 【解】法1（间接法）
x2xn?1?o(xn?1) ∵e?1?x????2!(n?1)!xx3xn∴f(x)?xe?x?x?????o(xn)。
2!(n?1)!x2法2（直接法）
∵f?(x)?(1?x)ex,f??(x)?(2?x)ex,?f(n)(x)?(n?x)ex， f(0)?0,f?(0)?1,f??(0)?2,f???(0)?3,?,f(n)(0)?n，
x3xn∴f(x)?xe?x?x?????o(xn)。■
2!(n?1)!x2――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
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习题4?4 函数的单调性与极值
ln2x1．求函数?(x)?的单调区间与极值。
x【解】定义域：x?0。
??0,0?x?1,??0,x?1,2?2lnxlnxlnx?∵??(x)?2?2?2(2?lnx)??0,1?x?e2.
xxx??0,x?e2,??x?e2,??0,??(1)?0，?max??(e2)? ∴?(x)??(0,1],??(1,e2]??(e2,??)，?min2．求函数f(x)?(x?5)?3x2在[?1,4]上的最大值和最小值．
4。■ 2e【解】注意：f(x)?C[?1,4] ，故只需关注驻点、导数不存在点和端点。
?1?x?0,??0,?不存在，x?05(x?2)???30?x?2, ??0,3x??0,x?2,??2?x?4,??0,2?3 ∵f?(x)?x?(x?5)?x3231∴驻点x?2，导数不存在点x?0，端点x??1,x?4， 其函数值分别为
f(2)??334,f(0)?0,f(?1)??6,f(4)??232，
故所求最大值与最小值分别为：
fmax?f(0)?0,fmin?f(?1)??6。■
3．在抛物线y?1?x2(0?x?1)上找一点M(a,b)，使过M的切线与两坐标轴所围三角形面积
最小。
【解】最值应用题。
·写切线方程：∵y??2x，∴所求切线方程为y?b??2a(x?a)。 ·求切线在两坐标轴上的截距：令y?0可得x?·写出三角形面积（目标函数）：
b?1?a11?a21b2A?(?a)(2a?b)?(?a)(2a2?1?a2)
22a22a2b?a，令x?0可得y?2a2?b。 2a?1211(a?1)2?(a3?2a?)（0?a?1）。 4a4a·求最小值：
1?2?4?12?11??22222??1， ∵A?(a)?(3a?2?2)?0，即3(a)?2a?1?0，故a?4a6??3显然，a?112。相应的所求点为M(,)。■
3334．在半径为R的球内作一内接圆柱体，要使圆柱体体积最大，问其高、底半径应是多少？ 【解】设圆柱体底面半径为r、高为h，则h?R2?r2，圆柱体积为
。 V?2?r2h?2?r2R2?r2（0?r?R）
∵V??2?[2rR2?r2?r2??2r2R2?r2]?2?rR2?r2(2R2?3r2)，
令V??0，即得r?2R。 322R时，所作圆柱体体积最大。■ R、高2h?33 由实际意义可知：当底面半径r?――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
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习题4?5 曲线的凹凸性及拐点
x1．讨论曲线y?x?2的凹凸性及拐点．
x?1【解】显然，函数定义域为(??,?1)?(?1,1)?(1,??)，故只需关注定义域内函数二阶导数为零的点和二阶导数不存在点。
x2?1?x?2xx2?1?1?2∵y??1?，
(x2?1)2(x?1)2x??1,??0,?不存在,x??1,???0,?1?x?0,2222x(x?1)?(x?1)?2?2x2x(3?x)? y?????x?0,， ??0,2323(x?1)(x?1)??0,0?x?1,?x?1,?不存在,?x?1,??0, ∴(??,?1),(0,1)为凸区间，(?1,0),(1,??)为凹区间，(0,0)为曲线的拐点。■ 2．求过y?xe?x上的极大值对应的点和拐点的连线的中点，并垂直于x?0的直线方程． 【解】（1）与极大值对应的曲线上的点：
∵y??(1?x)e?x,y???(x?2)e?x，
∴驻点x?1，且,y??(1)??e?1?0，故x?1为y?xe?x的极大值点，对应的曲线上点为
M(1,e?1)。 （2）拐点：
??0,x?2,?由y???(x?2)e?x??0,x?2,知：曲线拐点为N(2,2e?2)。
??0,x?2?（3）中点：
3e?1?2e?2)。 由中点公式可得M(1,e)与N(2,2e)的中点为：P(,22?1?2（4）直线：
3e?1?2e?2e?1?2e?2)且垂至于x?0（y轴）的直线方程为y?过P(,。■
222――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
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习题4?6 曲线整体形状的研究 1．求曲线y?1?e?x1?e2?x2的水平与铅直渐近线．
?x2?x2【解】∵limy?limx??x??1?e1?e?1，∴y?1为曲线的水平渐近线。
1?e?xy?lim?x2??，∴x?0为曲线的垂直渐近线。■ ∵limx?0x?01?e22x22．描绘函数y?的图形．
(1?x)2【解】函数定义域为x?1。
显然，x?1为曲线的垂直渐近线。
2x2∵lim?2，y?2为曲线的水平渐近线。 x??(1?x)2 单调性与极值：
x?0,??0,??0,x?0,?4x? ∵y???0,0?x?1, 3?(1?x)?不存在，x?1,??x?1,??0, ∴y??(??,0),??(1,??),??(0,1)，ymin?y(0)?0。
凹凸性与拐点：
x??1/2,??0,1??0,x??1/2,x??2??0,?1/2?x?1,， ∵y???8?(1?x)4?不存在，x?1,??x?1,??0,12 ∴y??(??,?1/2),??(?1/2,1),??(1,??)，拐点(?,)。
29――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题4?7 导数在不等式证明中的应用 ?1．证明：当0?x?时，有sinx?tanx?2x．
2【证】单调性法。设f(x)?sinx?tanx?2x，则
2x?secx?2?cosx? ∵f?(x)?cos11?2?2?cosx??2?00?x?（） 22cosxcosx2?? ∴f(x)??[0,]，从而，f(x)?f(0)?0（0?x?），即得证。■
222．设a?b?0，n?1，证明：nbn?1(a?b)?an?bn?nan?1(a?b)． 【证】中值定理法。设f(x)?xn,b?x?a，则由拉格朗日中值公式可得：
， f(a)?f(b)?f?(?)(a?b)（b???a）
即 an?bn?n?n?1(a?b)（b???a）。 于是，nbn?1(a?b)?an?bn?nan?1(a?b)。■