4.?11dxx?x2．
21【解】I??121dx2|1?arcsin1??。■ ?arcsin11212122()?(x?)222x?―――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 习题6?1 定积分的应用 1．假设曲线y?1?x2(0?x?1)，x轴，y轴所围区域被曲线y?ax2(a?0)分成面积相等的两部分，求a的值． 【解】平面图形面积。
由1?x2?ax2可解得两抛物线交点横坐标为
1，而 1?a曲线y?1?x2(0?x?1)，x轴，y轴所围区域得面积为
x312S??(1?x)dx?(x?)|0?，
330211?a1故只需确定a，使得
22[(1?x)?ax]dx??0S1?即可。 23111?a2211?a2(1?a)31?ax]|0 ∵?[(1?x)?ax]dx??[1?(1?a)x]dx?[x?300?2，
31?a ∴a?1。■
2．求双纽线r2?cos2?围成平面图形的面积．
【解】平面图形面积。
由极坐标系平面图形面积公式可得第一象限内区域的面积为：
?1411 A1??cos2?d??sin2?|04?，
2044?故由图形的对称性可知：所求面积为A?4A1?1。■
3．求圆x2?(y?2)2?1围成的区域绕x轴旋转而成的旋转体的体积．
【解】体积。元素法：由对称性可得：
11 V?2??[(2?1?x2)2?(2?1?x2)2]dx?2??4?21?x2dx
001?16??1?xdx?16???＝4?2。■
402几何意义13． 圆柱形水桶高10米，底面半径为3米，桶内盛满了水，问要把桶内的水全部抽完需做多
少功？（取重 力加速度g?10）
【解】功。元素法：建立坐标系如图，任意取微区间[x,x?dx]，相应的“薄片”的 体积??32?dx?质量9?dx??(??1)?重力9??gdx?微功dw?9??g(10?x)dx， 故所求功为：
x210。■ w??dw??9??g(10?x)dx?9??g(10x?)|0?450??g（J）
2005．求心形线r?a(1?cos?)的周长． 【解】曲线的弧长。
由对称性可得：
?221010?22?s?2?r?r??d??2?r?r??d??2?2a2(1?cos?)d?
000??2?2a?2cos022??d??4a?cosd??8asin|?0?8a。■ 2220??6．一底为b，高为h的对称抛物线拱形闸门，其底平行于水面，距水面为h（即顶与水面
齐）。闸门垂直放在水中，求闸门所受的压力。若底与高之和为常数，即b?h?l（为常数），问高和底各为多少时，闸所受的压力最大？ 【解】压力。
元素法：
·建立坐标系如图，以x为积分变量，积分区间为[0,h]； ·任意取微区间[x,x?dx]，相应的“窄条”所受压力近似为
dF?(2?b2hxdx)??gx?hb?ghxxdx；
·积分得所求压力：F?∵b?h?l，∴F?b?g2。 xxdx?b?gh2（J）?5h02?g(l?h)h2。 5令221∵P?(h)??gh(2l?3h)?0，∴当h?l，b?l时，压力最大。
533注意：抛物方程为y?b2hx(y?0)。■
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