【解】三角代换：x?asint（?I??(11)?2?x??2），则dx?acostdt,a2?x2?acost，故
acostdt11x2?sectdt?tant?C??C。■
222(acost)3a2?a2aa?x?ex?1dx；
2t，故 1?t2【解】第二类换元法。作t?ex?1，则x?ln(1?t2),dx? I??t?2tdt1?2(1?)dt?2(t?arctant)?C 22?1?t1?t?2(ex?1?arctanex?1)?C。■
(12)?xdxx?12．
【解】第二类换元法。作x?sect(0?t??2secttantdt1I????dt?t?C?arccos?C。■
secttantx)，则dx?secttantdt,x2?1?tant，故
(13)?dx1?x?x2。
【解】配方法＋凑微分法。
I??11d(x?)x?22?C?arcsin2x?1?C。■ ?arcsin5551()2?(x?)222222.求?41?xe?x,x?0,?f(x?2)dx，其中f(x)??1
,?1?x?0.??1?cosx20202【解】先换元再分段积分：
22111I??f(t)dt??dt??te?tdt??dt??e?td(?t2)
t1?cost20?1?10?12cos222tt1t1?t2211?4??secd??e?td(?t2)?tan|0?e|?tan?(e?1)。■ ?1022202222?10223．证明：?sinxdx?2?2sinnxdx．
00??n??n2n??【证】∵?sinxdx??sinxdx??sinnxdx，且对第二个积分作变换x???t，则
002??n0n2n?2?nsinxdx??sintdt?sintdt?sin????xdx
?0022∴?sinxdx?2?2sinnxdx。■
00??n4．计算下列定积分：
(1)?411dx； 1?x【解】作t?x，则x?t2,dx?2tdt,当x:1?4时，t:1?2，故
2tdt12 I???2?(1?)dt?2[t?ln(1?t)]|11?t1?t11?2[(2?ln3)?(1?ln2)]?2(1?ln3?ln2)。■
22(2)?3dx(1?x)231；
【解】作x?tant，则dx?sec2tdt,1?x2?sect,x:1?3,t:?3?4??3，故
??sec2tdt3??323I???costdt?sint|?sin?sin??。■ ?3?sect3422??444―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题5?5 分部积分法
1．求下列不定积分：
(1)lnx?xdx；
11dx) 【解】I?2?lnxdx?2(xlnx??x?dx)?2(xlnx??xx?2(xlnx?2x)?C?2x(lnx?2)?C。■
； (2)?xf??(x)dx（其中f(x)二阶可导）
【解】I??xdf?(x)?xf?(x)??f?(x)dx?xf?(x)?f(x)?C。■
(3)?x?arctanxdx；
x2x2x21dx 【解】I??arctanxd()?arctanx???2221?x2x211)dx ?arctanx??(1?2221?xx21?arctanx?(x?arctanx)?C。■ 22x?1?cos2xdx；
x112dx?xsecxdx?xd(tanx) 【解】I??2cos2x2?2?111??xd(tanx)?(xtanx??tanxdx)?(xtanx?lncosx)?C。■ 222(4)(5)?ln(x?1?x2)dx．
【解】I?xln(x?1?x2)??x? ?ln(x?1?x2)??2．计算下列定积分：
x1x?1?x2?(1?121?x2?2x)dx
1?x2dx?ln(x?1?x2)?1?x2?C。■
(1)?x3exdx；
012【解】凑微分法＋分部积分法。
211111。■ I??x2exd(x2)??tetdt??tdet?(t?1)et|1?020202022111(2)?arctanxdx；
01【解】分部积分法。
1 I?xarctxa|n??x?01011?121??ln2。■ dx?arct1a?nln1(?x)|02421?x2(3)?120xarcsinx1?x2dx．
【解】凑微分法＋分部积分法。
1I??21/2?0arcsinx1?x21/2d(1?x)???arcsinxd(1?x2)
021/2??(1?xarcsinx)|3?1??。■ 26221/20??1?x2?011?x2dx
??3．设
?sinx是f(x)的一个原函数，计算??xf?(x)dx． x2【解】∵
sinxsinxcosxsinx)???2，从而， 是f(x)的一个原函数，∴f(x)?(xxxx??I???xdf(x)?[xf(x)]|?????f(x)dx??f(?)?222x??sinx?4f()?|???1。■ 22x2?4.若f(x)为连续的偶函数，证明?f(t)dt为奇函数．
0x【证】设F(x)??f(t)dt，则
0∵f(?x)?f(x)（???x???），
?x∴F(?x)??f(t)dt0t??uxx???f(?u)du???f(u)du??F(x)，即?f(t)dt为奇函数。■
000x――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
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习题5?6 有理函数的积分及应用
求下列不定积分：
x31.?dx． 1?x2【解】凑微分法。
x2?xdx1(1?x2)?11122I???d(1?x)?(1?)d(1?x) 222??1?x21?x21?x1?[x2?ln(1?x2)]?C。■ 2x?22.?2dx． x?2x?5【解】∵(x2?2x?5)??2x?2
1(2x?2)?112x?21 ∴I??22dx??2dx??2dx
x?2x?52x?2x?5x?2x?51d(x2?2x?5)1??d(x?1) ??2222x?2x?5(x?1)?2?3.?11x?1ln(x2?2x?5)?arctan?C。■ 2221dx．
1?sinx【解】法1 三角公式变形
?x??2x2 ∵1?sin x?1?cos(?x)?2cos?2co2s224112??2x?sec ∴，于是， 1?sinx241??2x??2x??2x??2xdx???sec2d()??tan?C。 I??sec224444法2 万能代换
x2xx2t,sinx?2sincos?作t?tan，则x?2arctant,dx?，故
21?t2221?t212122I???dt?2dt???C???C。■ ?(1?t)22t1?t2x1?t1?1?tan21?t214.?dx． 4cosx??2【解】I??sec4xdx??sec2x?sec2xdx??(1?tan2x)dtanx
1?tanx?tan3x?C。■
3―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题5?7 广义积分
计算下列广义积分： ??lnx1.?dx． 1x21lnx??11【解】I??lnxd(?)??|1??(?)?dx
xxxx11?0?limlnx1???|1?1。■
x???xx????2.???0xe?xdx．
?????x?x??0【解】I???xde??xe|0??e?xdx??lim0x?x???0?e|0?1。■
x???ex3.???1dx． 2x(1?x)????xdx1111x2??12【解】I??2??(2?)d(x)?ln|?ln2 2221x(1?x)21x1?x21?x21