【解】L?limsin(x?2)111lim?1??。■
x?2x?2x?2x?244x?2x(3)lim()； x??xxx1?2?21?2?2【解】L?lim[(1?)]?[lim(1?)]?e?2。■
x??x??xx??22x2?1x2(4)lim(2)． x??x?1??1?【解】L?lim?x????1??1x21x2??????x21x2)2ex??x???1?e2。■ 12elim(1?2)xx??xlim(1?2．设x1?10,xn?1?6?xn(n?1,2,3,???)，试证数列?xn?的极限存在，并求此数列极限． 【证】（1）证明极限的存在性
·单调性：
∵x1?10,x2?6?x1?4，∴x2?x1?4?10?0。 ∵xn?1?xn?6?xn?6?xn?1?xn?xn?1?xn?xn?1，
6?xn?6?xn?1∴由数学归纳法可知：xn?1?xn?0，即xn?1?xn(n?1,2,?)，故?xn?为单调减少数列。 ·有界性：只需证明有下界。
显然，xn?0。或者由数学归纳法
∵x1?10?3,x2?6?x1?4?3，x3?6?x2?10?3，
x4?6?x3?6?10?6?9?3，
xn?6?xn?1?6?3?3， ∴?xn?有下界。
xn。 于是，由单调有界收敛准则知：存在极限limn??（2）求极限：设limxn?a，则由xn?6?xn?1求极限可得a?6?a，即
n??a2?a?6?(a?2)(a?3)?0，
解得：a??2,3。注意到xn?0，故a?3。■
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习题2?4 连续函数及其性质 1．求函数f(x)?11?ex1?x的间断点，并说明其类型．
【解】显然，当x?0,1时，函数无定义，故x?0,1均为间断点。
∵lim(1?ex?0x1?x)?1?e*x**x?01?xlim?1?e0?0，
∴limf(x)??，即x?0为第二类间断点，且为无穷间断点。
x?0∵lim(1?e?x?1x1?x)?1?exx?1?1?xlim?1?e?????，
x?1lim(1?e?x?1x1?x)?1?ex?1?1?xlimx?1?e???1?0?1，
f(x)?0,limf(x)?1，即x?1为第一类间断点，且为跳跃间断点。■ ∴lim??x?1注：*极限四则运算法则，**ex的连续性。
1?x2nx，试求函数f(x)的表达式，若有间断点，并说明其类型． 2．设f(x)?limn??1?x2n【解】∵limx2nn???0,|x|?1,???1,|x|?1, ???,|x|?1,?2n∴lim1?xn??1?x2n?1,|x|?1,?x,|x|?1,????0,|x|?1,即f(x)??0,|x|?1, ??1,|x|?1,??x,|x|?1。?? 由图形易知：x??1为第一类间断点，且为跳跃间断点。■
1?xcos,x?0,?3．设f(x)?? 要使f(x)在???,???内连续，确定常数a． x2?a?x,x?0,?【解】显然，函数在(??,0),(0,??)内为初等函数，故连续。
只需讨论分界点x?0处函数的连续性。
f(x)?lim(a?x2)?a， ∵lim??x?0x?0x?0limf(x)?lim?xcos?x?01?0（无穷小与有界函数积）， x ∴当a?0时，f(x)在???,???内连续。■
?sinx,x?0,?x??4．讨论f(x)??1,x?0,的连续性．
??2(1?x?1),x?0?x?【解】显然，只需讨论分界点x?0处函数的连续性。
sinx?1， ∵lim?f(x)?lim?x?0x?0xx?0limf(x)?lim??x?02(1?x?1)2?lim?1， ?x?0x1?x?1 ∴limf(x)?1?f(0)，即f(x)在???,???内连续。■
x?05．求下列极限：
ln(1??x)(1)lim； (?为常数）x?0x【解】方法1 由等价无穷小可得：L?limx?0?xx??。
方法2 由重要极限与连续性可得：
L?limln(1??x)?lnlim(1??x)?lne???。■
x?0x?01x1xsinx?sina；
x?ax?a【解】由三角函数公式、重要极限与连续性可得：
x?ax?ax?a2cossinsin22?limcosx?alim2?cosa。■ L?limx?ax?ax?a2x?ax?a2(2)lime?x?e?x(3)lim． (?,?为常数）x?0x【解】显然，当???时，L?0。
e?x?1e?x?1e?x?1e?x?1(?)?lim?lim 当???时，L?lim x?0x?0x?0xxxx?limx?0?xx?limx?0?xx????。■
6．设函数f(x)在?0,2??上连续，且f(0)?f(2?)，证明在?0,??上至少存在一点?，使得
f(?)?f(???)．
【解】作辅助函数F(x)?f(x)?f(x??)，则
∵f(x)在?0,2??上连续，且f(0)?f(2?)， ∴F(x)?C[0,?]。
∵F(0)?f(0)?f(?)，F(?)?f(?)?f(2?)?f(?)?f(0)??F(0)， ∴①当f(0)?f(?)时，可取??0,?，满足F(?)?0；
②当f(0)?f(?)时，F(0)F(?)?0，由零点定理可知：存在??(0,?)，使得F(?)?0，即
f(?)?f(???)。
综合可得：存在??[0,?]，使得F(?)?0，即f(?)?f(???)。■
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习题3?1 导数的概念 1．求曲线y?x?【解】∵y??1?1?13?在点?,??处的切线方程与法线方程． x?22?1，∴y?|x?0.5?5。 2x31 从而，所求切线方程为y??5(x?)，
22311 法线方程为y???(x?)。■
252ab2．若函数f(x)可导，求limn[f(x?)?f(x?)] (a,b?0)．
n??nnab[f(x?)?f(x)]?[f(x)?f(x?)]nn 【解】L?limn??1nabf(x?)?f(x)f(x)?f(x?)nn ?alim?blimn??n??abnn?af?(x)?bf?(x)?(a?b)f?(x)。■
3．讨论函数f(x)?sinx在点x?0处的连续性与可导性． 【解】（1）连续性：
∵limf(x)?lim|sinx|?|limsinx|?|0|?0?f(0)，
x?0x?0x?0∴f(x)?sinx在点x?0处的连续性。 （2）可导性：
f(x)?f(0)?sinx?0?lim???1， ∵lim?x?0x?0xxf(x)?f(0)sinx?0lim?lim?1， x?0?x?0?xx∴f(x)?sinx在点x?0处不可导。
注：也可从可导性入手。左右可导函数必连续，但未必可导。■
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习题3?2 求导的运算法则
1．求下列函数的导数：
(1)y?lnx?2lgx?3log2x； 【解】y??113??。■ xxln10xln2(2)y?2x(xsinx?cosx)；
【解】y??2xln2(xsinx?cosx)?2x(sinx?xcosx?sinx)
?2x[ln2(xsinx?cosx)?xcosx]。■
(3)y?x?1； 2x?1x2?1?(x?1)2x1?2x?x2【解】y??。■ ?2222(x?1)(x?1)(4)y?secx；
1?tanx【解】∵y?cosx?sinx1，∴y???。■
sinx?cosx(sinx?cosx)2(5)y?lna?x； a?x1【解】∵y?[ln(a?x)?ln(a?x)]，
21?11a?)?2 ∴y??(。■
2a?xa?xx?a2(6)y?esin21x；
1x1【解】由复合函数求导法则可得：
y??esin211112sin2x。■ ?2sin?cos?(?2)??2sinexxxxx