3．证明：当x?0时，nxn?1?(n?1)xn?1（正整数n?1）． 【证】最值法。设f(x)?nxn?1?(n?1)xn，则
??0,0?x?1,∵f?(x)?n(n?1)xn?2?n(n?1)xn?1?n(n?1)xn?2(1?x)?
x?1,??0,∴由f(0)?0,f(1)?1知：f(x)在[0,??)上得最大值为f(1)?1，即对任意x?[0,??)，均有f(x)?f(1)?1，即nxn?1?(n?1)xn?1。■
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习题5?1 定积分的概念与性质
1．利用定积分的几何意义计算下列定积分：
(1)?20xdx；(2)?2101?x2dx．
【解】（1）?xdx?S??011?2?2?2。 211?S?????12?。 4441 （2）?1?x2dx?02．比较下列积分的大小：
1xdx与?ln(1?x)dx．
0111?x【解】（1）∵1?x?2，∴0?ln1?lnx?ln2?1。
（2）?(1)?lnxdx与?(lnx)2dx；022 从而，lnx?(lnx)2(1?x?2)，
22于是，?lnxdx??(lnx)2dx。■
11（2）∵对lnt在[1,1?x]上应用格朗日中值定理可得：
ln(1?x)?ln(1?x)?ln1?1x?x（x?0） 1?x? ∴?1xdx??ln(1?x)dx。■ 01?x013．设f(x)为连续函数，且f(x)?x?2?f(x)dx，求f(x)．
022【解】设?f(x)dx?a，则f(x)?x?2a。
0x22在[0,2]上再积分可得：a??f(x)dx??(x?2a)dx?(?2ax)|0?2?4a，
20024解得a??，故f(x)?x?。■
33 注意：定积分是数，不定积分是函数族！
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习题5?2 微积分学基本公式
221．求函数?(x)??xe?xdx的极值．
0x【解】显然，?(x)在(??,??)内具有任意阶导数。因此，极值只能在驻点处取得。
∵??(x)?xe?0，???(x)?e?x(1?x)，
∴唯一驻点为x?0，且???(0)?1?0。于是，?min??(0)?0。■
?xlet?2.求下列极限：(1)limx?0x0costdtx2?；(2)limx?01cosxedt2?t2x．
cosx2?1。 【解】（1）L?limx?01L?rule2?e?cosx(?sinx)1sinx1 （2）L?lim?limlime?cosx?。■
x?02x2x?0xx?02eL?rule2?x2,x?[0,1],x3．设f(x)??求函数?(x)??f(t)dt在[0,2]上的表达式，并讨论?(x)在(0,2)内
0?x,x?[1,2],的连 续性．
x3?x2?,0?x?1,0?x?1,???0tdt,?3f(t)dt??1?? x221x1tdt??tdt,1?x?2,??(?),1?x?2.?1??0?22?3x【解】?(x)??0 ∵f(x)?C[0,2]，∴?(x)?D[0,2] 。■ 4．计算下列定积分：
3(1)?1x2?4x?4dx；
22?x?2,x?2,【解】∵x?4x?4?(x?2)?|x?2|??
2?x,x?2,?32 ∴I??(x?2)dx??(2?x)dx?1。
213或者 I??|x?2|dx?1t?x?21?1?|t|dt?1。■
(2)??0sinx?sin3xdx；
【解】∵sinx?sin3x?sinxcos2x?sinx|cosx|
??cosxsinx,0?x?,?2 ?????cosxsinx,?x??,2??2???2?? ∴I??cosxsinxdx??cosxsinxdx??sinxdsinx??sinxdsinx
002222432 ?[(sin。■ x)3|0?(sinx)3|?]?[1?(?1)]??3332(3)??4?2e|x|dx。
04?20x424【解】由可加性可得：I??e?xdx??exdx??e?x|0?2?e|0?e?e?2。■
2f?(x)3x?1dx． ，计算22?0x?11?f(x)（4）设f(x)?【解】凑微分法。
f?(x)df(x)2dx??01?f2(x)?1?f2(x)?arctanf(x)|0?arctanf(2)?arctanf(0)
022。■ 2―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题5?3 不定积分的概念与性质
求下列不定积分：
?arctan1?arctanf(?1)?2arctan1?1.?tan2xdx．
?【解】I??(sec2x?1)dx?tanx?x?C。■
2x42.?dx． 21?x【解】∵x4?(x4?x2)?(x2?1)?1，
x4(x4?x2)?(x2?1)?112??x?1? ∴。 1?x21?x21?x2于是，I?2?(x2?1?3.?1dx．
sin2x?cos2x123)dx?x?2x?2arctanx?C。■ 1?x23【解】∵1?sin2x?cos2x
∴I??(sec2x?csc2x)dx?tanx?cotx?C。■
1?coxsdx．
1?cos2x【解】法2 4.?xxx∵1?cosx?2sin2,1?cos2x?2sin2x,sinx?2sincos，
222x??2x2sinsin??1?coxs12x22?????sec。 ∴2xx?1?co2sx2sinx?2sin42cos??22??2 于是，I?法2
1x1x2xsecd()?tan?C。 ?22222∵1?cos2x?2sin2x，
11cosx11)?C。■ ∴I?(?2dx??2dx)?(?cotx?2sinxsinx2sinx――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
习题5?4 换元积分法
1． 求下列不定积分：
(1)?xe?x2dx；
【解】凑微分法。
2112 I???e?xd(?x2)??e?x?C。■
22(2)?dx；
x(4?x)【解】配方法＋凑微分法。
I??d(x?2)22?(x?2)2?arcsinx?2?C。■ 2(3)dx?x1?lnx；
【解】凑微分法。
I??(4)d(1?lnx)?21?lnx?C。■
1?lnx?x31?x2dx；
【解】凑微分法。
I??x2?xdx1(1?x2)?111??d(1?x2)??(1?x2?)d(1?x2)
21?x221?x21?x2121 ?[(1?x2)3/2?21?x2]?C?(1?x2)3/2?1?x2?C。■
233(5)?tanxdx； cosx【解】凑微分法。
I??(6)sinxdxdcosx2????(cosx)3/2cosx?C。■ (cosx)3/21?1?exdx； 【解】凑微分法。
e?xd(1?e?x)I??dx?????ln(1?e?x)?C。■ ?x?x1?e1?eskill11sin?x2xdx；
【解】凑微分法。
111I???sind()?cos?C。■
xxxdx(8)?x?x；
e?e【解】凑微分法。 (7)exdxdexI??x2???arctanex?C。■ x2(e)?11?(e)(9)dx?(2?x)1?x；
【解】第二类换元法。作t?1?x，则x?1?t2,dx??2tdt，故
I??(10)?2tdtdt??2??2arctant?C??2arctan1?x?C。■ 22?(1?t)t1?t?dx(a?x)223；