反比例函数
（一）知识结构图 像反比例 函生 列表描点法 数反活的比中 图例的象 反函数 比的例 概函念数待定系数法 反比例函数图象性质k与图象所在象限的关系 单调性 对称性 其它扩展性质 解析式 及其它方法 应 综 四种数学表达方式 用 合 图象上一个点可确定解析式 与实际问题的综合 与数学问题的综合
二.应会解决的反比例函数的问题
1． 会解决反比例函数概念有关的问题，会求反比例函数解析式（待定系数法，由双曲线
上一个点的坐标确定反比例函数的解析式）（基本要求）
2． k的符号与图象的位置及函数值随自变量的变化规律之间的关系（基本要求） 3． 应用反比例函数性质解决实际问题（基本要求） 4． k的几何意义及应用
5． 反比例函数图象的上、下平移；关于坐标轴对称；关于原点中心对称；绕原点顺（逆）
时针旋转90?后的解析式
6． 反比例函数与一次函数的综合问题；反比例函数与方程、不等式的综合； 7． 求双曲线与直线交点问题；应用图象法解不等式（数形结合） 8． 反比例函数中的综合问题及探究性问题
17.1.1
反比例函数的意义
知能点1 反比例函数的定义
定义：一般地，形如______________（k为常数，k?o）的函数称为反比例函数。_______还可以写成_______?1。
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反比例函数解析式的特征：
⑴等号左边是函数k，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为_______. ⑵比例系数k?0
⑶自变量x的取值为_______。 ⑷函数y的取值是______________.
例1.写出下列函数解析式，并指出它们各是什么函数。
（1）一个面积为500m2的矩形花坛，花坛的长y（单位：m）与宽x（单位：m）的关系；
（2）三角形的面积是8cm2,它的底边长a与高h（单位：cm）的关系；
（3）A、B两地相距1300km,一辆汽车从A地到B地，它的行驶速度v（单位：km/h）与时间t（单位：h）的关系。
kk2?1341例2.下列各函数①y?、②y? 、③y?、④y?、⑤y??x、xx5xx?1214－1
⑥y??3、⑦y?2和⑧y＝3x中，是y关于x的反比例函数的是：
xx________(填序号)．
知能点2 用待定系数法求反比例函数的解析式（重点）
一、考点讲解：
1．仅比例函数的确定方法：由于在反比例函数关系式
k
反比例函数关系式y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函
xk
数．因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入y= 中即可求出k的
x值，从而确定反比例函数的关系式．
2．用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： k
①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)
x
②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程； ③由代人法解待定系数k的值； k
④把k值代人函数关系式y= 中
x
二、经典考题剖析：
【考题2－1】写出一个图象位于一、三象限的反比例函数的表达式y=_________
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解：y= k
x
(k＞0）
点拨：由图象过一、三象限知 y= k
x
(k＞0）
【考题2－2】如图1－5－11所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= k
x (k≠0）的
图象交于M、N两点．
⑴求反比例函数和一次函数的 解析式；
⑵根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围． 解：（1）将N（?1，?4）代入y?kx中 得k=4 反比例函数的解析式为y?4x 将M（2，m）代入解析
式y?4x中得m=2 将M（2，2），N（?1，?4）代入y?ax?b中??2a?b?2??a?b??4解得a=2 b=-2
一次函数的解析式为y?2x?2
（2）由图象可知：当x＜?1或0＜x＜2时反比例函数的值大于一次函数的值. 点拨：用待定系数法求反比例函数和一次函数解析式
三、针对性训练：( 45分钟)
1．如图1－5－l2所示，函数图象①②③的关系式应为（ ）
A.y??562,y?x?2,y??x
B.y?52x,y??x?2,y?6xC.y??52x,y??x?2,y?6x
D.y??562x,y?x?2,y??x2．已知点（x1，－1），（x252，－
4），（x3，－25），在函数y=?8x的图象上，则下列关系式正
确的是（ ）
A．x1 C．x1＞x3＞x2 D．x1 < x3 < x2 3. 某中学要在校园内划出一块面积为100m2的矩形土地做花圃，设这个矩形的相邻两边的 长分别为xm和ym，求y关于x的函数解析式，并画出图象． 45．如图1－5－l3所示，已知一次函数 y= kx＋b（k≠（1）的图象与x轴、y轴分别交于 A、 B两点，且与反比例函数 y= m x （m≠0）的图象在第一象限交于 C点，CD垂直于x轴，垂足为 D．若OA=OB= OD＝1．（1）求点 A、B、D的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式． 第 3 页 共 28 页 6．如图1－5－14所示，△AOC的面积为6，且CB：BA=3：1，求过点A的双曲线的表达式． k 7．反比例函数y= 的图象经过点 A（－2，3） x⑴求出这个反比例函数的解析式； k ⑵经过点A的正比例函数y=k′x的图象与反比例函数y= 的图象，还有其他交点吗？ x若有，求出坐标；若没有，说明理由． 8．如图1－5－15所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点．如果A点的坐标为（2，0），点 C、D分别在第一、三象限，且 OA=OB=AC=BD．试求一次函数和反比例函数的解析式． 知能点3：反比例关系与反比例函数的区别与联系 （1）小学数学中讲述当矩形的面积S一定时，矩形的长a与宽b成反比例关系，那 时所说的a与b均为常数．现在我们所说的反比例函数（k为非零常数），这时 的x与y均为变量．但它们有一个共同的特点：ab=S，xy=k，即其积为一个常数． （2）成反比例的关系式，不一定是反比例函数，如中，y＋5与z＋2 成反比例，但y不是关于z的反比例函数；再如中，y与x2成反比例，但y不是 关于x的反比例函数，因为这里的分母中，x的指数不是1． 例：已知y=y1+y2 ，y1与x成正比例，y2与x成反比例，并且当x=2时，y=-4； 当x=-1时，y=5，求出y与x的函数解析式。 第 4 页 共 28 页 典型例题 题型一 应用反比例函数的定义求未知字母的值 例1 k为何值时，y=（2-k）x3-k^2是反比例函数。 题型二 生活中的反比例函数问题 例2 一个长方体的体积是100cm3,它的长是ycm,宽是5cm,高是xcm. (1)写出用高表示长的函数解析式； (2)写出自变量x的取值范围； (3)当x=3时，求y的值. 例3．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球 内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图 象如图所示. 当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸， 为了安全起见，气体体积应（ ） (12题图) 243242424A．不大于m；B．不小于m3；C．不大于m3；D．不小于m3 35353737 例4．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识： y(m)100一定体积的面团做成拉面时，面条的总长度y（m）是面条的 80260横截面积S（mm）的反比例函数，其图象如图所示． 40P(4,32)错误！未找到引用源。写出y（m）与S（mm2）的函数关系式； 20O12345 S(mm错误！未找到引用源。求当面条的横截面积是1.6 mm2时，面条的总长度是多少米？ 2) 题型三 根据反比例函数的定义来识别反比例函数 xy例5 若函数满足3+2=0，则y与x的函数解析式为______________，y是x的 ______________函数. 第 5 页 共 28 页