第六讲 牛 顿 问 题
1.什么是牛顿问题？
17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本《普通算术》的书，书中有这样一个“牛吃草”的问题：
1有三片牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快。它们的面积是3亩，
310亩，24亩。12头牛4星期吃完第一片场原有的和4星期内新长出的草；21
头牛9星期吃完第三片牧场原有的和9星期内新长出来的草。问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场原来的和18星期新长出来的草？
像这样涉及到三种数量：原有的草、新长出来的草、牛吃掉的草的应用题，称为牛顿问题。
牛顿问题不仅可以用“牛吃草”的形式来反映，还可以用其他形式来反映（如“漏水”、“检票进站”等）。
2.牛顿问题的计算公式
吃草的总量包括两部分：（1）原有草量，（2）在吃草时间内新长出来的草量。 吃草的总量=牛头数×星期数×一头牛每星期吃草量
例题1：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快，这片青草供10头牛吃，可以吃20天；供给15头牛吃，可以吃10天。供给25头牛吃，可以吃多少天？
分析：牛吃草问题中的总量包括两个部分：（1）原有草量（不变），（2）在牛吃草的时间内新长出的草量（随时间变化）。解题的关键要求原有草量和一天新长出的草量。
10头牛20天吃的草量=原有草量+20天新长草量 15头牛10天吃的草量=原有草量+10天新长草量
比较这两组数量关系式，就很容易求出每天新长出的草量和原有草量。 解：设一头牛一天吃的草量为“1”。 10头牛20天吃的草量：1×10×20=200 15头牛10天吃的草量：1×15×10=150 （20-10）天内新长出的草量：200-150=50 每天新长出的草量：50÷（20-10）=5 原有草量：200-5×20=100
100÷（1×25-5）=5（天） 答：这片草给25头牛吃，可以吃5天。
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例题2：某火车站的检票口，在检票开始前已有一些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，一个检票口每分钟能让25人检票进站。如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队；如果有两个检票口，那么检票后多少分钟就没有人排队？
分析：题目中“已有排队的人”，相当于“原有的草”，“每分钟来10人”相当于“新长出的草”。用“牛吃草”问题的思路就很容易解决问题
解：25×8-10×8=120（人） 120÷（25×2-10）=3（分钟） 答：只要3分钟就没有人排队。 练习：
1、有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完，21头牛8天可以将草吃完。若放16头牛，几天可以吃完？
2、牧场上的一片牧草，可供27头牛吃6周，也可供23头牛吃9周。如果牧草每天匀速生长，且每头牛每天的吃草量相同，那么这片牧草可供21头牛吃几周？
3、一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内。发现漏洞时已进入了一些水，如果用12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5个人淘水，要10小时才能淘完。现在要2小时淘完，需要多少人？
4、经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，那么地球最多能养活多少人？
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5、一片草地，如果9头牛吃，12天吃完所有的草；如果8头牛吃，16天吃完所有的草。现在，开始只有4头牛，从第7天起又增加了若干头牛，再用6天吃完所有的草。问增加了多少头牛？
6、一片牧场上的青草到处长势一样，只知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完。如果要96天把草吃完，牛的头数应该是多少？
7、某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数量是固定的。一个入口每分钟可以进入10个游客。如果开放4个入口20分钟就没有人排队。现在开放6个入口，那么开门后多少分钟就没有人排队？
8、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多，从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟？
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第七讲 抽屉原理问题
例题1：某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？
分析与解：将40名小朋友看成40个抽屉。今有玩具122件，122=3×40＋2。应用抽屉原理，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。
例题2：一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？
分析与解：将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。
练习：
1、某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有一个同学能借到两本或两本以上的书？
2、有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂放在一起，黑暗中想从这些筷子之中取出颜色不同的两双筷子，至少要取出多少根才能保证达到要求？
3、一副扑克牌（大王、小王除外）有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最少要抽几张，才能保证有四张牌是同一张花色的？
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4、证明：在从1开始的10个奇数中任取6个，一定有两个数的和是20。
5、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，那么至少要几个学生才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？
6、一副扑克牌有54张，至少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数?
7、某班有49个学生，最大的12岁，最小的9岁，是否一定有两个学生，他们是同年同月出生的？
8、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有2个同色的？
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