《高等应用数学实训教程》
第四章 定积分及其应用
一、学习要点
了解定积分的概念、几何意义及性质．
? 了解原函数存在定理，能够利用该定理求解变上限定积分的导数．
? 熟练掌握定积分的常用方法：牛顿—莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法． ? 掌握在直角坐标系下用定积分计算平面图形围成图形的面积的方法． ? 会计算绕坐标轴旋转生成的旋转体的体积，了解极坐标系中面积的求法． ? 了解无穷积分收敛的概念，能够判断和计算简单的无穷积分．
?
二、相关知识总结
1．定积分定义：定积分是一个数且与积分变量字母无关.
2．定积分的几何意义是：介于直线x?a和x?b之间，x轴之上、下相应的曲边梯形的面积的代数和.
3．定积分的性质: （1）
??? b a[k1f(x)?k2g(x)]dx?k1 a? a b af(x)dx?k2? b ag(x)dx；
（2）
b af(x)dx??? bf(x)dx， ? af(x)dx?0；
（3）
b af(x)dx?? c af(x)dx? b? b cf(x)dx；
b（4）若f(x)≥g(x)，则
? af(x)dx≥? ag(x)dx；
（5）积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]至少存一点?有
? b af(x)dx?f(?)(b?a)，??[a,b]；
（6）估值定理：若f(x)在[a,b]上可积，且m≤f(x)≤M 则有不等式m(b?a)≤? b af(x)dx≤M(b?a).
4．若函数f(x)在[a,b]上连续，则有
bddx? x af(t)dt?f(x).
5．重要补充：（1）
? adx?b?a.
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（2）
? a ?a?0?f(x)dx??2??当f(x)是奇函数? a 0f(x)dx当f(x)是偶函数.
6．变上限定积分（原函数存在定理）?(x)??f(t)dt是[a,b]上的一个可导函数，自变
a x量x，且??(x)?f(x).
7．牛顿—莱布尼兹公式：若F?(x)?f(x)，则等函数，此公式成立）.
8．定积分与不定积分的本质联系： ddxddx? b af(x)dx?F(b)?F(a)（F(x)必是初
?f(x)dx?f(x)? x af(t)dt?f(x).
9．定积分的换元积分法：
? b af(x)dx?? ? ?f(?(t))d?(t)x??(t).
?(?)?a?(?)?bt?[?,?]10．注意：定积分换元法中每进行一次变量替换，同时要将上、下限作相应的改变，而不要将新变量称成旧积分变量.
11．定积分的分部积分法：
b b? au(x)dv(x)?u(x)v(x)|ba?? av(x)du(x).
注意：此公式与不定积分的分部公式相似，只是每项带有积分限. 12．对于面积的应用，选择合适的积分变量，可以简化计算． （1）在直角坐标系中的面积（用x（或y）作积分变量）． （2）在极坐标系下的面积：
1曲线方程???(?)求由???(?)及???、???所围成的曲边扇形面积A?2? ? ??2(?)d?.
13．对于旋转体体积的应用：
（1）求由曲线y?f(x)及直线x?a、x?b、x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转的体积：v?? b aπy2dx?π? a?f(x)?dx.
? d c b2（2）若曲线是x??(x)、y??c,d?，曲线绕y轴旋转的体积：v?π三、重点例题剖析
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xdy?π2? d c??(y)?dy.
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（一）基础题
1．设在区间[a,b]上f(x)?0，f?(x)?0，f??(x)?0.令S1??baf(x)dx，
1S2?f(b)(b?a)，S3?[f(a)?f(b)](b?a)，试说明三者之间的大小关系．
2解 用几何意义.如图4—1所示：曲线y?f(x)是上半平面的 一段下降的凹弧，S1是曲边梯形ABCD的面积， S3是梯形
ABCD的面积，S2是矩形ABCE的面积，显然有S2?S1?S3．
2.利用定积分定义计算
?10exdx.
图4—1 解 由于被积函数在积分区间上连续，因此将积分区间[0,1]n等分，并取子区间
[i?1ii,]的右端点作为介点?i?，从而有 nnn
?10exdx?lim11e[1?(e)]1e(1?e)e?lim?lim ?11n??nn??nn??ni?11?en1?en1n1x1nin1n1nn1n1xe1121?e1?e?lim(?ex)??1 ?lim由于limn(1?en)?lim ?limx2x???1/xx??n??n??1/nx??1/x所以
?10exdx?1?e?e?1． ?13．利用定积分的性质说明下列积分值的大小: （1）
?10xdx与?ln(1?x)dx； （2）?edx与?(1?x)dx．
0001111x1解（1）由于当x?0时，x?ln(1?x)，故?xdx比?ln(1?x)dx大．
00（2）由于当x?0时，x?ln(1?x)，故有e?1?x，因此4．设f?(x)在?0,a?上连续，且f(0)?0，证明：
x?10exdx比?(1?x)dx大．
01?a0Ma2f(x)dx?，其中M?
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maxf?(x)．
0?x?a证明 由泰勒中值定理知，当0?x?a时，f(x)?f(0)?f?(?)x?xf?(?) （0???x），从而f(x)?Mx，于是
?a0f(x)dx??|f(x)|dx?M?0aa0Ma2xdx?．
25．利用Newton-Leibniz公式计算下列各定积分：
?（1）
?40tan2?d?； （2）?|sinx|dx．
02???20?解 （1）
?404tan?d???4(sec??1)d??[tan???]0?1??4．
（2）
??2?02?|sinx|dx??sinxdx??(?sinx)dx ?[?cosx]?0?[cosx]??4．
0?2??6．估计下列各积分的值： （1）
313xarctanxdx； （2）?e02x2?xdx．
解 （1）在区间[有f(1,3]上，函数f(x)?xarctanx单调增加，因此， 31??)?f(x)?f(3)，即?xarctanx?，故有 3633
?9??13?633dx??1xarctanxdx??1333?32dx??．
332（2）设f(x)?x?x，x?[0,2]，则f?(x)?2x?1，f(x)在[0,2]的最大值与最
小值必为f(0),f(),f(2)中的最大值和最小值，即最大值和最小值分别为f(2)?2和
112?22?211f()??，因此有2e4??e4dx??ex?xdx??e2dx?2e2．
00024127．设x??1，求
?x?1(1?t)dt．
解 当?1?x?0时，原式??x?1(1?t)dt?11x(1?t)2|??(1?x)2； 122 - 4 -
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0x12x?0?(1?t)dt?(1?t)dt?1?(1?x)当时，原式?． ?0?12dx22(x?t)f(t)dt，其中f(t)为已知的连续数． 8．计算?0dx?x2x2x2??2解 原式?x?f(t)dt??tf(t)dt?2x?f(t)dt．
??00?0?9．f(x)??x0(t?t2)sin2ntdt,n?N，在?0,???上最大值不超过
1．
(2n?2)(2n?3)22n证明 由于f?(x)?(x?x)sinx(x?0)，当0?x?1时，f?(x)?0；当x?1时，
除去x?k?(k?N)的点外，都有f?(x)?0，故当x?1时，f(x)取得最大值f(1)，即：
22n22n当x?0时， f(x)?f(1)??(t?t)sintdt??(t?t)tdt?00111．
(2n?2)(2n?3)10．设y?f(x)是区间?0,1?上的任一非负连续函数．
（1）试证存在x0?(0,1)，使得在区间?0,x0?上以f(x0)为高的矩形面积，等于在 区间?x0,1?上以y?f(x)为曲边的曲边梯形面积； （2）又设f(x)在区间(0,1)内可导，且f?(x)??的．
证明（1）设F(x)?x2f(x)，证明上题中的x0是唯一x?1xf(t)dt，则F(0)?F(1)?0且F?(x)??f(t)dt?xf(x)，
x1对F(x) 在?0,1?上应用罗尔中值定理知，?x0?(0,1)使得F?(x0)?0，即命题得证． （2）设?(x)??1xf(t)dt?xf(x)，则当x?(0,1)时，有
??(x)??2f(x)?xf?(x)?0，所以?(x)在(0,1)内单调递减，故命题得证．
1x2t2?x2dt． 11．求极限lim?(1?t)ex??x0
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