《高等应用数学实训教程》
?（3）求
?20sin(2n?1)xdx．
sinx2112?（4）已知f(2)?,f(2)?0,?f(x)dx?1，求?xf??(2x)dx．
002
（5）求连续函数f(tx)，使它满足
（6）过点P(1,0)作抛物线y?，该切线与上述抛物线及x轴围成一平x?2的切线，?10f(tx)dt?f(x)?xsinx．
面图形，求此图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
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（7）设曲线方程为y?e?x(x?0)
① 把曲线y?e?x，x轴，y轴和直线x??(??0)所围平面图形绕x轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体体积V(?)，并求满足V(a)?1limV(?)的a； ?2???② 求此曲线上一点，使过此点的切线与两坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出此面积．
2（8）求曲线y?x?2x，y?0，x?1，x?3所围平面图形面积S，并求该平面
图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．
22（9）设平面图形A由x?y?2x与y?x所确定，求图形A绕直线x?2旋转一周
所得旋转体的体积．
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5．证明题:
（1）设函数f(x)在???,???内连续，且F(x)?① 若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数； ② 若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．
（2）设f(x)是区间?0,???上单调减少且非负的连续的函数，
?x0(x?2t)f(t)dt，试证：
an??f(k)??f(x)dx(n?1,2,...)，证明数列?an?的极限存在．
k?11nn
（3）设f(x)在?0,1?上可导，f(0)?0,0?f?(x)?1，试证：
?1f(x)dx??1f3(x)dx．
?0????0?
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（4）设f(x)，g(x)在?a,b?上连续，且g(x)?0，x??a,b?，试证：
?至少存在一点??(a,b)，使得?
（5）设f(x)?
babaf(x)dxg(x)dx?f(?)． g(?)?x?1xsin(et)dt，证明：exf(x)?2．
（6）设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内有f?(x)?0，证明：在(a,b)内 存在唯一的?，使曲线y?f(x)与两直线y?f(?)，x?a所围平面图形面积S1是曲线y?f(x)与两直线y?f(?)，x?b所围平面图形面积S2的三倍．
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（7）证明：把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是W?
mgRh． R?h第四章测试题参考答案
1.选择题：
（1）B；（2）B；（3）C；（4）A；（5）A； （6）C；（7）C；（8）B；（9）B． 2.填空题： （1）0； （2）
?131?ln2； 84（3）ln2；
（4）
233?； 38- 40 -