《高等应用数学实训教程》
为V?2??baxf(x)dx．
证明 如图4—6，在x轴上x点处取一底边长为dx的小曲边梯形ABCD，则它绕y轴旋转所成的旋转体的体积为
dV?2?xf(x)dx，
于是平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为 图4—6
V??ba2?xf(x)dx ?2??xf(x)dx．
ab40．求曲线y?sinx，0?x??，和x轴所围成的图形绕y轴旋转一周所成的旋转 体的体积． 解 V?2??aba?2xf(x)dx?2??xsinxdx ??2?[xcosx|?0?sinx|0]?2?．
0?41．求圆盘x2?y2?a2绕x??b(b?a?0)旋转所成的旋转体的体积． 解 V????a(b?a2?y2)2dy???(b?a2?y2)2dy
?aaa ?8?b?01a2?y2dy?8?b??a2?2?2a2b．
422222242．求由两个圆柱面x?y?a与z?x?a所围立体的体
积．
解 图4—7所示的为该立体在第一卦限部分的图像，对 ?x0?[0,a]，平面x?x0与这部分立体的截面是一个
22长为a?x0的正方形，所以A(x)?a?x，
22x?[0,a]，从而所求体积为：V?8?(a2?x2)dx?0a163a. 图4-7 343．如图4—8，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截， 试求解得楔形体的体积．
解 如图建立直角坐标系，此时底面边界曲线方程是
x2y2??1，x?0
10016
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顶面的倾斜角为?，有tan??51?． 102过?x?[0,10]，作截面垂直于x轴，与楔形体的 交面是矩形，其高为h?xtan??于是所求体积为：
1x，长为2y， 2V??h?2ydx?0102102x100?xdx?05
324002210??(100?x)|0?. 图4—8
15344．求曲线y?sinx(0?x??)绕x轴旋转所得的旋转曲面的面积． 解 S?2???0f(x)1?f?2(x)dx?2??sinx1?cos2xdx
0???2???01?cos2xdcosx
???[cosx1?cos2x?ln(cosx?1?cos2x)]?0
?2?[2?ln(2?1)]．
45．求曲线x?a(t?sint),y?a(1?cost)（a?0,0?t?2?）绕x轴旋转所得的旋
转曲面的面积．
解 S?2??2?0a(1?cost)a2(1?cost)2?a2sin2tdt
2? ?4?a2?0t(1?cost)sindt
22?t1t13t?4?a2?(sin?sin?sin)dt
022222t13t2?642?4?a2[?3cos?cos]0??a．
232346．计算曲线y?x(3?x)相应于1?x?3的一段弧的长度． 3 - 17 -
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解 因为y??12x?11?1?，所以所求弧长为 x，故1?y?2??x??22?x?s?13?1?1?23/24?3． x?dt?x?2x|?23???1???12?2?33x???x?1?cost47．求摆线?的一拱(0?t?2?)的弧长s．
y?t?sint?解 由于ds?sint?(1?cost)dt?所以s?22t2(1?cost)dt?2sindt
2?2?0t2sindt?8．
248．一个半球形（直径为20米）的容器内盛满了水，试问把水抽尽需作多少功？ 解 如图4—9建立坐标系，这时半球的截面半圆周方程为 x?y?100，x?0．
要将区间[x,x?dx]内一段圆台形水抽出半球面，需做功
22?W?dW??y2dx?103?g?x．于是把水抽尽需作功为
W??100?g?103xy2dx??g?103?x(100?x2)dx
010?25?g?105?7.70?107(J). 图4—9
49．长10米的铁索下垂于矿井中，已知铁索每米的质量为8千克， 问将此铁索提出地面需作多少功？
解 如图4—10建立坐标系，将一段位于区间[x,x?dx]间的 铁索提出地面需做功?W?dW?8?dx?g?x 于是将此铁索提出地面需作功 W??1008gxdx?4?102g
?3.92?106(J)． 图4—10
50．半径为r的球体沉入水中，其比重与水相同．试问将球体从水中捞出需作多少功？ 解 如图4—11建立坐标系，因为球的比重与水相同，故欲将位于区间[x,x?dx]的球台提升到[x?2r,x?dx?2r]位置，其前一段位于水中时不用作功（重力与浮力相同），而作功只是从离开水面时才开始，由于圆周方程为(x?r)?y?r， 从而有 dW??ydx?10?g?(2r?x)
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于是将球体从水中捞出需作功
W??g?103?(2r?x)[r2?(x?r)2]dx 图4-11
02r??g?103?2r0(4r2x?4rx2?x3)dx
224r3x42r4x?]|0??gr4?103 . ??g?10[2rx?3433 51．有一等腰梯形闸门，它的上，下两条底边各长为10米和6米,高为20米．计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力．
解 如图4—12建立坐标系，过两点A(20,3)，B(0,5)的直线方程为：
y?5x?01?x?5 ，即y??3?520?010从而，位于区间[x,x?dx]上的一段闸门条上，所受到水的静压力：
dP?x?10?g?2y?dx
3?2?103gx(5?1x)dx 101x)dx 10于是闸门一侧所受的总静压力： 图4—12
P??2002?103gx(5?3 ?2?10g[x? ?522120x]|0 3022?9.8?105?14373.33(N)． 352．设在坐标轴的原点有一质量为m的质点，在区间[a,a?l](a?0)上有一质量为
M 的均匀细杆．试求质点与细杆之间的万有引力．
解 细杆在[a,a?l]上点x处的线密度为力（设k为引力常数）为：
M，而从[x,x?dx]上的一段对质点的引 ldF?km?dMkmMdx? x2lx2- 19 -
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于是质点与细杆之间的万有引力为：
F??a?lakmMdxkmM1a?lkmM?(?)|． ?a2lxlxa(a?l)53．设有半径为r的圆形导线，均匀带电，电荷密度为?， 在圆心处有一单位正电荷．试求它们之间作用力的大小． 解 如图4—13建立坐标系，并采用半圆的参数方程 ??x?rcos?, 0????．
?y?rsin?.从而对于在区间[?,??d?]?[0,?]上的小段导线， 图4—13 单位正电荷对它的作用力为：
dF??k1??ds（设k为作用力常数）． r2?k??k?cos?dsdF?dF?sin??sin?ds． ，y22rr于是有：dFx?dF?cos??由导线的对称性，故水平分力dFx相互抵消，从而水平方向合力为零． 此时，垂直方向的合力为：Fy????0k?sin?ds 2r?k? ?2r ????0k?sin?(?rsin?)2?(rcos?)2d? 2rsin?ds??2k?． r?k?r?0这里负号表示单位正电荷对导线的作用力与y轴方向相反.
（二）提高题 1．单项选择题：
（1）设f(x)，g(x)在点x?0的某邻域内连续，且当x?0时，f(x)是g(x)的高阶无穷小， 则当x?0时，
?x0． f(t)sintdt是?tg(t)dt的（ ）
0xA.低阶无穷小 B.高阶无穷小 C.同阶但不等价的无穷小 D.等价无穷小 （2）设f(x)?（ ）．
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?1?cosx0x5x6sintdt，g(x)??，则当x?0时，f(x)是g(x)的
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