《高等应用数学实训教程》
x令e?t，则dx?dt，于是
1t???0????1xe?x11t??dx?dt?(?)dt?ln|1?ln2． ?x2??00(1?e)t(1?t)t1?t1?t（3）
??edxx1?(lnx)21??ed(lnx)1?(lnx)21e?[arcsin(lnx)]1??2．
（4）
10uxxxu，令，记，则 dx?limdxt??(u)?x?1??01?x1?x1?x1?u?10?(u)?(u)x2t22?1dx?limdt?lim[?td(1?t)] 22???0?0u?1u?11?x(1?t)? ?lim[?u?1tu??(u)?arctant] ． ?lim[?u(1?u)?arctan]?1u?1?1?t21?u2??24．讨论下列广义积分的敛散性： （1）
???3dxx4?10； （2）
?1dx；
1?x（3）
1arctanxlnxdx； （4）?01?x?01?x3dx． 1解（1）由于limx|f(x)|?limx???43x???3??4dx收敛． ?1，p??1，所以?34403x?1x?1x43（2）由于limx|f(x)|?limx???12x1?x12x????1,p???dx1发散． ?1，所以?121?x?lnx2(1?x)1/2（3）x?1是瑕点，由于lim(1?x)|f(x)|?lim?lim?0， 1/2x?1?x?1?(1?x)x?1?xp?1lnxdx1，??0，所以?收敛．
01?x2（4）x?1是瑕点，
?x)|f(x)|?lim由于lim(1??x?1x?1arctanx???p?1,???0， ，
x2?x?11212所以
arctanx?01?x3dx发散．
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25．如图4—2,求曲线y?lnx与x?解 A?1，x?10及x轴所围图形的面积． 1010?101/10lnxdx???11/10lnxdx??1lnxdx
10?[?xlnx?x]|11/10?[xlnx?x]|1
?1(99ln10?81). 10 图4—2
26．如图4—3，抛物线y2?2x把圆x2?y2?8分成两个部分，求这两个部分的面积之比．
解
A2?2?(8?y2?0212y)dy2?[y8?y2?8arcsin ?2??12?y3]|0 223y4， 图4—3 34A9??2A1?8??A2?6??，从而 1?．
3A23??21?12?2?12?2?a22??2(e?e?2?)． 解 A??(ae)d??a?ed??a?ed2??????2??2443328．求内摆线x?acost，y?asint（a?0）所围图形的面积．
?27．求对数螺线??ae(??????)及射线???所围图形的面积．
解 A??2?0asint3acostsintdt?3a2322?2?0sin4tcos2tdt
?12a??/2012?3a26a2I(2,2)?I(0,2) sintcostdt?4?22?24233a2?I(0,0)??a2．
8429．求曲线??asin?，??a(cos??sin?)（a?0）所围图形的面积． 解 如图4—4所示：联立两曲线的方程，解之得，两曲线的交点为(0,0)和(
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?2,a)，
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故
S1???/20112?/21?cos2?2(asin?)d??a?d?
0222?121112/2a(??sin2?)|???a 图4—4 022483?43?1?2?24[2asin(??)]d??a??sin2(??)d? 2442S2???2???4?t?2a21?cos2ta?3dt?a?
?84242?a2a2?(??1)． 于是所求面积为：S?S1?S2?a?a?8844?2?230．求曲线y?x的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x?0，x?2所围成的
平面图形的面积最小．
解 设(x0,x0)为曲线上任意一点，则该点处的切线方程为
y?x0?xx1?0 (x?x0)，即y?22x02x0于是，该曲线与切线l及直线x?0，x?2所围成的平面图形的面积为
A(x0)??20(xx142?0?x)dx?x0??，x0?0
232x0x0又A?(x0)?1111，A??(x0)??， ??3532x02x04x04x01?0， 2令A?(x0)?0得x0?1（唯一），而A??(1)?故当x0?1，即所求切线方程为y?2x?1时，所求面积会最小． 2231．假设曲线l1：y?1?x(0?x?1)，x轴和y轴所围成区域被曲线l2：y?ax分 为面积相等的两个部分，其中a是大于零的常数，试确定a的值．
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1?x????y?1?x?1?a(0?x?1)解 由?，解得； ?2a??y?ax?y??1?a?2故曲线l1与l2的交点坐标为P(1a,)，从而有： 1?a1?a1S1??11?a012， [(1?x2)?ax2]dx?[x?(1?a)x3]01?a?331?a102S1?S1?S2??(1?x2)dx?于是S1?2， 3121?，得a?3． ，因此331?a3232．如图4—5：设曲线方程为y?x?1，梯形OABC的面积为D，曲边梯形 2OABC的面积为D1，点A的坐标为(a,0)，a?0，证明：
D2?． D13111a(1?a2)2解 根据题意D?a(??a)?，
22221aa2D1??(x?)dx??，
0223a2有
D3(1?a2)3(1?a2)2???D13?2a22?2a232.
图4—5
33．抛物线y?4ax及直线x?x0（x0?0）所围图形绕x轴旋转，计算所得旋转体的体积．
解 V??x00x0?ydx????4axdx?[2a?x2]0?2a?x02．
02x034．设D是曲线y?sinx?1与三条直线x?0，x??，y?0所围成的曲边梯形， 求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积． 解 V????01?cos2x?(sinx?1)dx???[?sinx?1]dx?(8?3?)．
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35．求平面曲线x?a(t?sint)，y?a(1?cost)（a?0），0?t?2?，绕x轴旋转所围成的立体的体积．
解 V???32a?02?y2dx??a3?(1?cost)3dt
02???a?03[1?3cost?(1?cos2t)?(1?sin2t)cost]dt
23312???a3[t?4sint?t?sin2t?sin3t]|0?5?2a3．
24336．在曲线y?x(x?0)上某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形面积为
21，试求：（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程； 12（3）由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积． 解 设切点A的坐标为(x0,x02)(x0?0)，则切线方程为： y?x02?2x0(x?x0)，即y?2xx0?x02； 依题意：
?x020y?x021(?y)dy?，则x0?1，从而 2x012（1）切点A的坐标为(1,1)； （2）过A的切线方程为y?2x?1； （3）所求旋转体的体积为V??10?xdx??1?(2x?1)2dx?241?5??6??30．
x2y237．求平面曲线2?2?1绕y轴旋转所成的旋转体的体积．
aby2y3b422解 V???xdy??a?(1?2)dy ??a[y?2]|?b??ab．
?b?bb3b3b22b38．曲线y?(x?1)(x?2)和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积．
解 V??0?y?)2?(?y?)2]dy???16y?dy 1?[(?4?432143214014?130 ?4?(y?)2|1?．
4?4239．证明：由平面图形0?a?x?b，0?y?f(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积
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