《高等应用数学实训教程》
由曲线y?x?1（1?x?2）绕x轴旋转一周所得的旋转体的表面积为
S1?由直线段y??212?y1?y?dx???2214x?3dx??6(55?1)
1x（0?x?2）绕x轴旋转一周所得的旋转体的表面积为 2 S2?152??x??022dx?5?
2因此，所得的旋转体的表面积为S?S1?S2??6(115?1)．
23．平面光滑曲线由极坐标方程r?r(?),?????（[?,?]?[0,?]，r?0）给出，试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式．
解 曲线的参数方程为x?r(?)cos?，y?r(?)sin?，?????，且由
r?0可知y?r(?)sin??0，故由 [?,?]?[0?,及] x?2(?)?y?2(?)?(r?cos??rsin?)2?(r?sin??rcos?)2?r?2(?)?r2(?) 可得所求面积为
S?2????y(?)x?2(?)?y?2(?)d? ?2??r(?)sin?r?2(?)?r2(?)d?.
?2?24．计算曲线y?2x(x?1)3被抛物线y2?截得的一段弧的长度． 332解 联立两曲线的方程，消去y，得解得x?2；
2x(x?1)3?，所以2x3?6x2?5x?2?0， 33又曲线与x轴的交点为(1,0)，由对称性，有
23??2221??(x?1)2?dx?2?1?(x?1)dx
133????2 s?2?1 ?2?213x?1dx?223x?1d(3x?1) ?1333222238532222(3x?1)|1?(5?2)?[()2?1]． ?999225．直径为20cm，高为80cm的圆筒内充满压强为10N/cm的蒸汽，设温度保持
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不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功．
解 由玻意尔－马略特定理知：PV?10?(?102?80)?80000?，当底面积不变而高减少x(cm)时，设压强为p(x)(N/cm2)，则有
p(x)??102?(80?x)?80000?，所以p(x)?又dW???102?p(x)dx，于是所作的功为： W?800， 80?x?400??102?40800dxdx?8?104??
080?x80?x40 ??8?104?ln(80?x)|0?800?ln2(J)．
26．边长为a和b的矩形薄板，与液体成?角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深h处，设a?b，液体的密度为?，试求薄板每面所受的压力．
解 如图4—17，记x为薄板上点到近水面的长边的距离， 取x为积分变量，则x的变化范围为[0,b]，对应小区间
[x,x?dx]，压强为?g(h?xsin?)，面积为adx，因此所求
压力为
F???ga(h?xsin?)dx?0b1?gab(2h?bsin?) 图4—17 227．设有一长度为l，线密度为?的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M，试求这细棒对质点M的引力．
解 如图4—18所示，区间[x,x?dx]对质点M的引力大小为
dF?km?dx，它在x轴，y轴上的分量分别为
a2?x2dFx?dFsin??km?dxxm?x??kdx 图4—18 32222a?xa?x(a2?x2)2m?a(a2?x)322dFy??dFcos???kdx
故有 Fx??l0k11dx?km?(?) 322aa?l(a2?x2)2- 32 -
m?x
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Fy??k0?lm?a(a2?x)322dx??km?laa?l22．
四、测试题 1．单项选择题：
（1）设函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，且f(x)?0，则 方程
?xaf(t)dt??xb1dt?0在开区间(a,b)内的根有（ ）． f(t)A.0个 B.1个 C.2个 D.无穷多个
（2）设f(x)，g(x)在点x?0的某邻域内连续，且当x?0时，f(x)是g(x)的高阶无穷小， 则当x?0时，
?x0f(t)sintdt是
?x0． tg(t)dt的（ ）
A .低阶无穷小 B.高阶无穷小 C.同阶但不等价的无穷小 D.等价无穷小 （3）设a(x)?（ ）．
A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶但不等价的无穷小 D.等价无穷小 （4）设F(x)??5x0sinxsint，?(x)??(1?x)tdt，则当x?0时，a(x)是?(x)的
0t1?x?2?xesintsintdt，则F(x)（ ）．
A.为正常数 B.为负常数 C.恒为零 D.不为常数 （5）下列广义积分发散的是（ ）．
111dx B.?dx A.??1sinx2?11?x1C.
???0e?xdx D.?2??21dx
xln2x（6）广义积分收敛的是（ ）．
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A.
???e??lnx1dx B.?dx
exxlnxC.
???e??dxdx D.?exlnx x(lnx)2（7）曲线y?x(x?1)(2?x)与x轴所围成图形的面积可表示为（ ）． A.??20x(x?1)(2?x)dx
2B.
?10x(x?1)(2?x)dx??x(x?1)(2?x)dx
11C.??0x(x?1)(2?x)dx??x(x?1)(2?x)dx
12D.
?20x(x?1)(2?x)dx
32（8）曲线y?sinx(0?x??)与x轴所围成图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积 为（ ）． A.
44222 B.? C.? D.? 3333（9）设f(x)，g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x)?f(x)?m（m为常数），则曲线y?f(x)，y?g(x)，x?a及x?b所围平面图形绕直线y?m旋转而成的旋转体的体积为（ ）．
A.
??[2m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx
abB.
??[2m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx
abC.
??[m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx
abD.
??[m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx
ab2．填空题：
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（1）lim(?etdt)2x2x???0x0edt2t2＝_____ .
?（2）
?401xdx=_____ .
1?cos2x（3）
ln(1?x)?0(2?x)2dx=_____ .
（4）
???dx(x?1)43x?2x)1与直线x?2,y?2所围成的平面图形的面积S?_____ . x2=_____ .
（5）由曲线y1?xex与直线y2?ex所围成的平面图形的面积S?_____ . （6）由曲线y?x?（7）曲线r?a?(a?0,0???2?)的弧长s?_____ . 3．判断题: （1）
????（ ）． x4sinxdx?0．
（2）等式
?a0（ ）． f(x)dx???f(a?x)dx对任何实数a都成立．
0a4．计算题:
（1）设f(x)为连续可微函数，试求
dx(x?t)f?(t)dt． ?adx?1?x2,x?0,3?（2） 设f(x)???x求?f(x?2)dx．
1??e,x?0,
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