《高等应用数学实训教程》
于是所求面积为S(x1)?令S?(x1)?又
11112ab??(?x2?1)dx?(x13?2x1?)?，
024x13111111； (3x12?2?2)?(3x1?)(x1?)?0得x1?4x14x1x13S??(x1)|1212，即所求点为(,)，此时?(6x?)|?01113x1?x?4x113333S(12)?(23?3)．
9313．考虑函数y?sinx(0?x??2)，问：
（1）x取何值时，图4—14中阴影部分面积S?S1?S2最小？ （2）x取何值时，图4—14中阴影部分面积S?S1?S2最大？ 解 S(t)??sinxdx??0t?2t(1?sinx)dx
?1?2cost?t??2，(0?x??2)
（1）S?(t)?2sint?1,S??(t)?2cost， 令S?(t)?0得t?故当t???（唯一），又S??()??0 66?时，S达到最小值； 图4—14 6（2）由于S(0)???1，S()?1，故当t?时，S达到最大值．
222??14．设曲线y?cosx(0?x??2)与x轴和y轴所围成区域被曲线y?asinx，
y?bsinx(a?b?0)三等分，试确定a，b的值．
解 依题意有
1a?arctan0?y1(cosx?asinx)dx??1?b2(arccosy?arcsin)dy??2cosxdx
0b30b - 26 -
《高等应用数学实训教程》
1arctan?1a??(sinx?acosx)|0453?a?b?即?，解得，． b312y1?2221?b2(yarccosy?1?y?yarcsin?b?y)|?0?b3?15．设直线y?ax与抛物线y?x2所围成图形的面积为S1，它们与直线x?1所围成的图形面积为S2，并且a?1．
（1）试确定a的值，使S1?S2达到最小，并求出最小值；
（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V．
1a32?3a?a32解 S1??(ax?x)dx?，S2??(x?ax)dx?，
0a66a22?3a?2a32a2?1（1）S(a)?S1?S2?，S?(a)?，S??(a)?2a?0；
62令S?(a)?0，故有a?22；即当a?时，S1?S2达到最小，此时22S1?S2?2?2． 6（2）该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为
211112222V??()???2?x4dx??2?x4dx??2?(x)dx
0322222 ??30?2?1?2??． 3030 16．已知一抛物线通过x轴上的两点A(1,0)，B(3,0)．
（1）求证：两坐标轴与此抛物线所围成的图形的面积等于x轴与此抛物线所围图形的面积； 图4—15
（2）计算上述两个平面图形绕x轴旋转一周所得的两 个旋转体的体积之比． 解 （1）设过A，B两点的抛物线方程为
y?a(x?1)(x?3)（a?0时如图4—15），
则抛物线与两坐标轴所围图形的面积为：
S1??|a(x?1)(x?3)|dx?|a|?(x2?4x?3)dx?00114|a|3抛物线与x轴所围图形的面积为：
- 27 -
《高等应用数学实训教程》
S2??|a(x?1)(x?3)|dx?|a|?(x2?4x?3)dx?11334|a|即得S1?S2． 3（2）抛物线与两坐标轴所围图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为： V1???10a2[(x?1)(x?3)]2dx??a2?[(x?1)4?4(x?1)3?4(x?1)2]dx?01382?a 15抛物线与x轴所围图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为：
V2???a2[(x?1)(x?3)]2dx??a2?[(x?1)4?4(x?1)3?4(x?1)2]dx?1133162?a 15即得
V119?． V281，试确定a，b，c，使此图形绕x轴旋转一周所得旋3217．设抛物线y?ax?bx?c过原点，当0?x?1时，y?0，又已知该抛物线与x轴及直线x?1所围图形的面积为转体的体积V最小．
解 因为曲线过原点，所以C?0；由题设有
?10(ax2?bx)dx?22ab12??，即b?(1?a) 3233a2abb2?) 以及 V???(ax?bx)dx??(?05231a214(1?a)2] ??[?a(1?a)?5327令V?(a)??[a?又因V?(?)?2512853?a?(1?a)]?0，得a??，代入b的表达式得b?； 33274254453??0及实际情况，知当a??，b?，C?0时，体积最小． 1354218．设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内大于零，并且满足
3a22x（a为常数）xf?(x)?f(x)?，又曲线y?f(x)与x?1，y?0所围的图形S2的面积值为2，求函数f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．
- 28 -
《高等应用数学实训教程》
[解 由题设，当x?0时，
的连续性得f(x)?又2?f(x)xf?(x)?f(x)3a]???；据此并由f(x)在点x?0处 2xx23a2x?Cx，x?[0,1] 2?10(3a23aCaCx?Cx)dx?(x3?x2)|1??，即C?4?a 022222因此f(x)?3a2x?(4?a)x；所求的旋转体的体积为： 210V(a)???[f(x)]2dx?(令V?(a)?(又V??(a)?12116a?a?)? 303311a?)??0，得a??5 1531?0，故当a??5时，旋转体体积最小． 1519．求由曲线x?a(t?sint)，y?a(1?cost)(a?0)(0?t?2?)与直线y?0所 围成的图形绕l轴旋转一周所得旋转体的体积，设轴l为（1）x轴；（2）y轴；（3）直线
y?2a．
解（1）Vx??2?a0?y2(x)dx???a2(1?cost)2a(1?cost)dt
02? ??a（2）Vy?3?2?0(1?3cost?3cos2t?cos3t)dt?5?2a3；
2a?2a02?x2(y)dy???x12(y)dy
0 ????2?a(t?sint)asintdt???a2(t?sint)2asintdt
0322? ???a （3）Vl???(t?sint)2sintdt?6?3a3；
02??2?a0?[(2a)2?(2a?y(x))2]dx
?4?a?2?a0y(x)dx??2?a0?y2(x)dx
- 29 -
《高等应用数学实训教程》
?4?a?2?0a(1?cost)a(1?cost)dt?5?2a3?7?2a3．
20．求曲线y?3?|x2?1|与x轴围成的封闭图形绕直线y?3旋转一周所得旋转体的体积．
解 作出图4—16，AB的方程为y?x2?2(0?x?1)，
BC的方程为y?4?x2(1?x?2)，设旋转体在区间
[0,1]上的体积为V1，在区间[1,2]上的体积为V2，则
它们的体积元素分别为：
dV1??{32?[3?(x2?2)]2}dx??[8?2x2?x4]dx
dV2??{32?[3?(4?x2)]2}dx??[8?2x2?x4]dx 图4—16
由对称性得 V?2(V1?V2)?2? ?2?12?0(8?2x?x)dx?2??(8?2x2?x4)dx
124?20(8?2x2?x4)dx?448?． 1521．已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1)，线段AB绕z轴旋转一周所得的旋转曲面为S，求由S及两平面z?0，z?1所围成的立体体积．
解 直线AB的方程为
?x?1?zx?1yz??，即?；在z轴上截距为z的水平面截此 ?111?y?z旋转体所得的截面是一个圆，此截面与z轴交于点?(0,0,z)，与AB交于点M(1?z,z,z)，故圆截面半径：r(z)?旋转体的体积为V??22．设有曲线y?1(1?z)2?z2，从而截面面积S(z)??(1?2z?2z2)；于是所求
22(1?2z?2z)dz??． ?03x?1，过原点作其切线，求由此曲线，切线及x轴围成的平面图
1x，再以点
2x0?1形绕x轴旋转一周所得的旋转体的表面积．
解 设切点为(x0,x0?1)，则过原点的切线方程为y?(x0,x0?1)代入，解得x0?2，即切线方程为y?
- 30 -
1x； 2