《高等应用数学实训教程》
解 因为
?x0(1?t)ex2t2?x2dt?et2?x2?x0(1?t2)etdt
2? 所以原式?limx??0(1?t)edtxex22?limx??(1?x2)ex2(1?2x2)ex2?1． 212．设f(x)在?0,1?上可微，且满足条件f(1)?2使f(?)??f?(?)?0．
?120xf(x)dx，试证：存在??(0,1)
证明 令F(x)?xf(x)则F(x)在[0,1]上可微，又由f(1)?2?120xf(x)dx及积分中值
1)，于是F(x)在[?,1]上满足定理可知：???[0,]使f(1)??f(?)，即F(?)?F(罗尔中值定理条件，故???(?,1)?(0,1)使得F?(?)?f(?)??f?(?)?0．
13．f(x)在?0,1?上非增且连续，证明对任意a?(0,1)有证明 记F(a)?12?a0f(x)dx?a?f(x)dx．
0111af(x)dx?f(x)dx（a?(0,1)），则 ??00a F?(a)?af(a)??f(x)dxa02a?f(a)?f(?)?0,(0???a)
a故F(a)在(0,1]上单调减少，从而当a?(0,1)时，有F(a)?F(1)，故命题得证．
14．运用换元积分法计算下列定积分： （1）
???01(1?sinx)dx ； （2）?13121?x2dx）； 2x（3）
34?dx3； （4） ?2?cosx?cosxdx．
?1?x?12解 （1）
??0(1?sinx)dx??dx??sinxdx ????(1?cos2x)d(cosx)
0003??3? ???(cosx?cosx)|0???133?4． 3 - 6 -
《高等应用数学实训教程》
（2）
?112x?sinu?1?x2cos2u2dxdu ?22?x4sinu?2?2???2(cosu?1)du?[?cotu?u]??1?44?4．
（3）
??134u?1?x0?2ududx ?1??2[u?ln(1?u)]01?1?2ln2．
1?x?12u?12??（4）
??22cosx?cosxdx?2??320cosxsinxdxu?cosx?2?01udu?4． 315．设an??40tannxdx，求an?an?2．
??解 an?an?2??40tanx(1?tanx)dx??4tannxdtanx
n20?11n?14tanx|0? ?． n?1n?116．设f(x)??x1lntdt，其中x?0，求f(x)?1?t?1?f??． ?x?1lntt?1/yxlny?1?xdtdy，于是： 解 f?????111?ty(1?y)?x?xlntxlntxlnt1?1?f(x)?f????dt??dt??dt?ln2x．
1t(1?t)1t2?x?11?t17．设函数f(x)在(??,??)内满足f(x)?f(x??)?sinx且f(x)?x,x?? ?0,??，计算
??3?f(x)dx．
3?3?解
??3?f(x)dx??[f(x??)?sinx]dx????f(x??)dx2?t?x???2?0f(t)dt
??f(t)dt??0?2??f(t)dt??tdt??[f(t??)?sint]dt0?? - 7 -
《高等应用数学实训教程》
??22??2??f(t??)dt??sintdt
?2?u?t???22??f(u)du?2??2?2．
0?18．运用分部积分法计算下列定积分： （1）
?10exarctanxdx； （2）?(xsinx)2dx；
0?（3）（4）
?1esin(lnx)dx； （3）?(x?x)edx；
?212x?12?x?1|lnx|dx； （6）?1ee21dx．
111211x221dx 解 （1）?xarctanxdx??arctanxd(x)?[xarctanx]0??20002221?x ??2?1?1?[x?arctanx]1??． 08242（2）
?01?2?31?2(xsinx)dx??x(1?cos2x)dx??xd(sin2x)
2064?0121??31???[xsin2x]0??xsin2xdx???xd(cos2x) ?064264011??3???[xcos2x]0??cos2xdx??． ?644064（3）
?3?3?2?22(x?x)edx?2?xe?xdx??2xe?x|0?2?e?xdx
00?x222?(?2xe?x?2e?x)|0?2?6． e210（4）
?e1sin(lnx)dxx?eu?10ueusinudu?[eusinu]10??ecosudu 11uu?esin1?[eucosu]10??esinudu?e(sin1?cos1)?1??esinudu；
00e所以
?1sin(lnx)dx?e1(sin1?cos1)?． 22- 8 -
《高等应用数学实训教程》
（5）
?|lnx|dx???lnxdx??1e1ee1e1lnxdx
e1e ??[xlnx]?11e?11e2dx?[xlnx]??dx?2?．
1e1（6）
?1e212x?1dxt?2x?1?10tt1?1． tetdt?tet|10??edt?e?e|0019．设f(x)??x0?sintdt，求?f(x)dx．
0??t解
??0?f(x)dx?xf(x)|?0??xf(x)dx???0??0?sintsinxdt??xdx
0??t??x ?20．设f(x)?1?1?0???xsinxdx??sinxdx?2．
0??x?x21sinttdt，求?xf(x)dx．
0t2221x1xsinxx21f(x)]0??f?(x)dx????2xdx 解 ?xf(x)dx?[000222x2 ?1cos1?1[cosx2]1?． 02221．已知函数f(x)??（1）S0?（3）Sn??x,0?x?1计算下列个题：
?2?x,1?x?242?20f(x)e?xdx； （2）S1??f(x?2)e?xdx； f(x?2n)edx(n?2,3,...)； （4）S??Sn．
?xn?0??2n?22n1解（1）S0??0xedx??(2?x)e?xdx
1?x102|??e?xdx?(2?x)e?x|1??e?xdx
0112?x2 ?xe ?1?2e?e?1?2?(1?e?1)2.
（2）令t?x?2，则S1?
?42f(x?2)e?xdx?S1??f(t)e?t?2dt?e?2S0.
02- 9 -
《高等应用数学实训教程》
（3）令t?x?2n，则Sn?（4）S??20f(t)e?t?2ndt?e?2nS0.
??Sn??(en?0n?0???2nS0)?S0?e?2n?n?0S0e?1． ??21?ee?122．f(x)在?0,??上有二阶连续导数，f(0)?0，证明：
??0?0?f(x)?f??(x)?sinxdx??f?(x)dx．
0?证明
??f(x)?f??(x)?sinxdx???f(x)dcosx??sinxdf?(x)
00?? ??f(x)cosx|0? ?f(?)?f(0)?????0f?(x)dcosx?f?(x)sinx|0??f?(x)dcosx
0???0f?(x)dx．
23．计算下列广义积分： （1）
???1??arctanxxe?xdx； （2）?dx； 2?x20x(1?e)（3）
?edxx1?(lnx)21； （4）
?10xdx． 1?x解 （1）
???1????arctanx11dx??dx??arctanxd()??arctanx|? 122??11xxxx(1?x)??4?limb???1?b1x?112(?)dx??lim[lnb?ln(1?b)?ln2] 2b???x1?x422?（2）
?1b?1?ln2?limln??ln2．
b???421?b242???????1xe?xxex?xd(dx?dx?0(1?ex)2?01?ex) (1?e?x)2?0????x????11|?dx?dx x0xx??001?e1?e1?e - 10 -