e?v2∴ ?m
2π?0rr2π?0mv2?12.5?10?13C?m?1 得 ??e
-1
9.20 空气可以承受的场强的最大值为E=30kV·cm，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d=0.5cm 解: 平行板电容器内部近似为均匀电场 U?Ed?1.5?10V
9.21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题9.21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符
4?2，证: 如题9.21图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为?1，
?3，?4
题9.21图
(1)则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时，有
?? ?E?dS?(?2??3)?S?0
s∴ ?2??3?0
说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；
(2)在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即
?1?2?3?4????0 2?02?02?02?0又∵ ?2??3?0 ∴ ?1??4
说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．
9.22 三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm，A和B相距4.0mm，A与C相距2.0
-7
mm．B，C都接地，如题9.22图所示．如果使A板带正电3.0×10C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少? 解: 如题9.22图示，令A板左侧面电荷面密度为?1，右侧面电荷面密度为?2
2
题9.22图
(1)∵ UAC?UAB，即 ∴ EACdAC?EABdAB ∴
?1EACdAB???2 ?2EABdACqA S且 ?1+?2?得 ?2?qA2q, ?1?A 3S3S而 qC???1S??2qA??2?10?7C 3qB???2S??1?10?7C(2) UA?EACdAC?
?1dAC?2.3?103V ?09.23两个半径分别为R1和R2（R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计算：(1) (2) *(3) 解: (1)内球带电?q；球壳内表面带电则为?q,外表面带电为?q，且均匀分布，其电势
U???R2???E?dr??R2qdrq? 24π?0R4π?0r
题9.23图
(2)外壳接地时，外表面电荷?q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为?q．所以球壳电势由内球?q与内表面?q产生：
U?q4π?0R2?q4π?0R2?0
(3)设此时内球壳带电量为q?；则外壳内表面带电量为?q?，外壳外表面带电量为?q?q? (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且
UA?q'4π?0R1?q'4π?0R2??q?q'?0
4π?0R2得 q??外球壳上电势
R1q R2?q?q'?R1?R2?q? 24π?0R24π?0R2UB?
q'4π?0R2?q'4π?0R2?9.24 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量．
解: 如题9.24图所示，设金属球感应电荷为q?，则球接地时电势UO?0
d?3R处有
题9.24图
由电势叠加原理有：
UO?q'q??0
4π?0R4π?03Rq 3得 q???
9.25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为F0．试求：
(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力； (2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2
q2解: 由题意知 F0?
4π?0r2(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电
q, 2小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电
3q???q
4∴ 此时小球1与小球2间相互作用力
q??32qq'q\38F1???F0 24π?0r4π?0r82(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为
2q. 322qq4∴ 小球1、2间的作用力F2?33?F0
4π?0r29
9.26 在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为?r，金属球带电Q．试求： (1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势．
??解: 利用有介质时的高斯定理?D?dS??q
S(1)介质内(R1?r?R2)场强
???Qr?QrD?,E内?; 334πr4π?0?rr介质外(r?R2)场强
??Qr?QrD?,E外? 334πr4π?0r (2)介质外(r?R2)电势
???U??E外?dr?rQ 4π?0r介质内(R1?r?R2)电势
??????U??E内?dr??E外?drrr
?11Q(?)?
4π?0?rrR24π?0R2q? (3)金属球的电势
1??1(?r)
4π?0?rrR2QU??R2R1R2?????E内?dr??E外?dr
R2??Qdr4π?0?rr2R??Qdr
R24π?r20??
Q4π?0?r(1?r?1?) R1R29.27 如题9.27图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为?r的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值．
解: 如题9.27图所示，充满电介质部分场强为E2，真空部分场强为E1，自由电荷面密度分别为?2与?1 由D?dS???????q0得
D1??1，D2??2
而 D1??0E1,D2??0?rE2
E1?E2?U d