???1?11????D??0[2(r2Er)?(E?sin?)?(E?)]
rsin???rsin???r?r??0[?1?13(?2Arsin?cos?)?(?Arcos?cos?sin?)
rsin???r2?r ??1(Arsin?)]
rsin???Acos?Acos?(cos2??sin2?)?]sin?sin?
??0[?6Asin?cos??1—4—2、两平行导体平板，相距为d，板的尺寸远大于d，一板的电位为0，另一板的电位为V0，两板间充满电荷，电荷体密度与距离成正比，即。 ?(x)??0x。试求两极板之间的电位分布（注：x?0处板的电位为0）
解：电位满足的微分方程为
?0d2???x 2?0dx其通解为： ????03x?C1x?C2 6?0定解条件为：?x?0?0； ?x?d?V0 由?x?0?0得 C2?0 由?x?d?V0得 ?于是 ????03V?d?C1d?V0，即 C1?0?0d2 6?0d6?0?03V0?02x?(?d)x 6?0d6?01—4—3、写出下列静电场的边值问题：
电磁场习题解答 第 6 页
（1）、电荷体密度为?1和?2（注：?1和?2为常数），半径分别为a与b的双层同心带电球体（如题1—4—3图（a））；
（2）、在两同心导体球壳间，左半部分和右半部分分别填充介电常数为?1与?2的均匀介质，内球壳带总电量为Q，外球壳接地（题1—4—3图b））； （3）、半径分别为a与b的两无限长空心同轴圆柱面导体，内圆柱表面上单位长度的电量为?，外圆柱面导体接地（题1—4—3图（c））。
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解：（1）、设内球中的电位函数为?1，介质的介电常数为?1，两球表面之间的电位函数为?2，介质的介电常数为?2，则?1，?2所满足的微分方程分别为
?2?1???1?， ?2?2??2 ?1?2选球坐标系，则
??1?11?2??11?1?2?1 (r)?(sin?)????r???1r2?rr2sin???r2sin???2??2?21?2??21?1?2?2 (r)?(sin?)????r???2r2?rr2sin???r2sin???2由于电荷对称，所以?1和?2均与?、?无关，即?1和?2只是r的函数，所以
?11?2??11?2??2?2， (r)??(r)??22r?r?r??r?r?r21定解条件为：
分界面条件： ?1r?a??2 电位参考点： ?2 附加条件：?1r?0； ?1r?a??1?r??2r?a??2?r
r?ar?b?0；
为有限值
（2）、设介电常数为?1的介质中的电位函数为?1，介电常数为?2的介质中的电位函数为?2，则?1、?2所满足的微分方程分别为
?2?1???1?， ?2?2??2 ?1?2选球坐标系，则
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??11?2??11?1?2?1(r)?2(sin?)?2?0 22?r??r?rrsin???rsin?????21?2??21?1?2?2(r)?2(sin?)?2?0 22?r??r?rrsin???rsin???由于外球壳为一个等电位面，内球壳也为一个等电位面，所以?1和?2均
与?、?无关，即?1和?2只是r的函数，所以
1?2??11?2??2(r)?0(r)?0 ，
?r?rr2?rr2?r22 分界面条件： ?1?????2???
由分解面条件可知?1??2 。令 ?1??2??，则在两导体球壳之间电位满
足的微分方程为
1?2??(r)?0
?rr2?r 电位参考点： ?r?b?0；
边界条件：2?a2(?1Er??2Er)r?a?Q，即 2?a2(?1??2)(???)?Q ?rr?a（3）、设内外导体之间介质的介电常数为?，介质中的电位函数为?，则?所满足的微分方程分别为
?2??0， 选球柱坐标系，则
1???1?2??2? (r)?2??0
r?r?rr??2?z2 电磁场习题解答 第 9 页
由于对称并假定同轴圆柱面很长，因此介质中的电位?和?及z无关，即?只是r的函数，所以
1???(r)?0 r?r?r 电位参考点： ?r?b?0； 边界条件：2?a?Er 2?a?(?
1－7－3、在无限大接地导体平板两侧各有一个点电荷q1和q2，与导体平板的距离均为d，求空间的电位分布。
r?a??，即
??)?? ?rr?a
解：设接地平板及q1和q2如图（a）所示。选一直角坐标系，使得z轴经
过q1和q2且正z轴方向由q2指向q1，而x，y轴的方向与z轴的方向符合右手螺旋关系且导体平板的表面在x，y平面内。计算z?0处的电场时，在（0,0,?d）处放一镜像电荷?q1，如图（b）所示，用其等效q1在导体平板上的感应电荷，因此
?1?q111(?)
2224??0x2?y2?(z?d)2x?y?(z?d)计算z?0处的电场时，在（0,0,d）处放一镜像电荷?q2如图（c）所示，用
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