其等效q2在导体平板上的感应电荷，因此
?2?q211(?)
2222224??0x?y?(z?d)x?y?(z?d)1－7－5、空气中平行地放置两根长直导线，半径都是2厘米，轴线间距
离为12厘米。若导线间加1000V电压，求两圆柱体表面上相距最近的点和最远的点的电荷面密度。
解：由于两根导线为长直平行导线，因此当研究它们附近中部的电场时可将它们看成两根无限长且平行的直导线。在此假定下，可采用电轴法求解此题，电轴的位置及坐标如图所示。
12?6cm 由于对称 h?2而 b?h2?R2?62?22?42cm
??设负电轴到点p(x,y)的距离矢量为r2，正电轴到点p(x,y)的距离矢量为r1（p点应在以R为半径的两个圆之外），则p点的电位为
r2??(x?b)2?y2ln()?ln ?(x,y)? 222??0r12??0(x?b)?y1两根导体之间的电压为U，因此右边的圆的电位为U，即
2τ(h?R?b)2U?(h?R,0)?ln? 22??02 (h?R?b) 电磁场习题解答 第 11 页
由此可得
??2??0Uh-R?b2lnh-R-b250?10004ln(1?2)?250ln(1?2)
(x?b)2?y2ln于是 ?(x,y)? 22(x?b)?yln(1?2)?E??grad?
(x?b)[(x?b)2?y2]?(x?b)[(x?b)2?y2]???{ex2222[(x?b)?y][(x?b)?y]ln(1?2)
250?
y[(x?b)?y]?y[(x?b)?y]?ey}[(x?b)2?y2][(x?b)2?y2]2222
由于两根导线带的异号电荷相互吸引，因而在两根导线内侧最靠近处电场最强电荷密度最大，而在两导线外侧相距最远处电荷密度最小。
?max(x?b)[(x?b)2?y2]?(x?b)[(x?b)2?y2]????0{ex 2222[(x?b)?y][(x?b)?y]ln(1?2)250??(? ex) x?h?Ry?0y[(x?b)2?y2]?y[(x?b)2?y2]? ?ey}2222[(x?b)?y][(x?b)?y] ??011?)?1.770?10?7C/m2
ln(1?2)h?R?bh?R?b(250?min(x?b)[(x?b)2?y2]?(x?b)[(x?b)2?y2]????0{ex2222[(x?b)?y][(x?b)?y]ln(1?2)250y[(x?b)2?y2]?y[(x?b)2?y2]??ey}[(x?b)2?y2][(x?b)2?y2]?? ex x?h?Ry?0
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???011?)?8.867?10?8C/m2
ln(1?2)h?R?bh?R?b(250
1—9—4、一个由两只同心导电球壳构成的电容器，内球半径为a，外球壳半径为b，外球壳很薄，其厚度可略去不计，两球壳上所带电荷分别是?Q和?Q，均匀分布在球面上。求这个同心球形电容器静电能量。
解：以球形电容器的心为心做一个半径为r的球面，并使其介于两导体球壳之间。则此球面上任意一点的电位移矢量为
? D?Q?e 2r4?r??DQ?电场强度为 E??er
?4??r21??Q2而电场能量密度为 we?E?D? 24232??r球形电容器中储存的静电场能量为
b2??Q22We??wedV????rsin?d?d?dr
Va0032??2r4b2??Q2????sin?d?d?dr a0032??2r2b1Q2Q2b10?(cos0?cos?)(2??0)?2dr?dr 22?aa8??r32??rQ211Q2b?a?(?)=? 8??ab8??ab
1－9－5、板间距离为d电压为U0的两平行板电极浸于介电常数为ε的液
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态介质中，如图所示。已知液体介质的密度是?m，问两极板间的液体将升高多少？
解：两平行板电极构成一平板电容器，取如图所示的坐标，设平板电 容器在垂直于纸面方向的深度为w，则此电容器的电容为
(L?x)w?0xw?? C(x)? dd电容中储存的电场能量为
11(L?x)w?0xw?2?)U0 We?CU02?(22dd液体表面所受的力为
2? We12? C(x)U0w?U0?(???0) fx?? x2? x2d此力应和电容器中高出电容器之外液面的液体所受的重力平衡，由此 可得
2U0w(???0)??mgdwh 2d2(???0)U0即 h? 22?mgd2—5、内外导体的半径分别为R1和R2的圆柱形电容器，中间的非理想介
电磁场习题解答 第 14 页
质的电导率为?。若在内外导体间加电压为U0，求非理想介质中各点的电位和电场强度。
解：设圆柱形电容器介质中的电位为?，则 ?2??0
选择圆柱坐标，使z轴和电容器的轴线重合，则有
1???1?2??2? (r)???0
r?r?rr2??2?z2假定电容器在z方向上很长，并考虑到轴对称性，电位函数?只能是r的函数，因此?所满足的微分方程可以简化为
1???(r)?0 r?r?r??C1?? ?C1， ??r?rr两边再积分得电位的通解 ??C1lnr?C2 定解条件：?r?R?U0， ?r?R?0 即 r12将电位函数的通解带入定解条件，得
C1lnR1?C2?U0 C1lnR2?C2?0
由上述两式解得
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