量G、泊松比v之间的关系：
题2—5图
题2—6图
G?E
2(1?v)2—8 用材料力学方法试求出如题2—8图所示受均布载荷作用简支梁内一点的应力状态，并校核所得结果是否满足平衡微分方程。
题2—8图
2—9 已知一点的应力张量为：
5080??50?MPa?ij??0?75 ????30??(对称)?试求外法线n的方向余弦为：nx?应力??和剪应力??。
2—10 已知物体的应力张量为：
30?80??50?ij??0?30? ??MPa
?110??(对称)?试确定外法线的三个方向余弦相等时的微斜面上的总应力P?，正应力??和剪应力??。
2—11 试求以主应力表示与三个应力主轴成等倾斜面（八面体截面）上的应力分量，并证明当坐标变换时它们是不变量。
2—12 试写出下列情况的应力边界条件。
6
111，ny?，nz?的微斜面上的全应力P?，正
222
题2—12图
2—13 设题2—13图中之短柱体，处于平面受力状态，试证明在尖端C处于零应力状态。
题2—13图 题2—14图
2—14* 如题2—14图所示的变截面杆，受轴向拉伸载荷P作用，试确定杆体两侧外表面处应力?z（横截面上正应力）和在材料力学中常常被忽略的应力?x、?zx之间的关系。
2—15 如题2—15图所示三角形截面水坝，材料的比重为?，水的比重为?1，已求得其应力解为：?x?ax?by,
?y?cx?dy??y,?xy??dx?ay，其它应力分量为零。试根据
直边及斜边上的边界条件，确定常数a、b、c、d。
2—16* 已知矩形截面高为h，宽为b的梁受弯曲时的正
My12M应力?z?试求当非纯弯时横截面上的剪应力公?y，3Jbh式。（利用弹塑性力学平衡微分方程） 题2—15图
7
?1260??2—17 已知一点处的应力张量为：?ij???6100?MPa，试求该点的最大主应力及
??000??其主方向。
2—18* 在物体中某一点?x??y??z??xy?0，试以?yz和?zx表示主应力。
2—19 已知应力分量为?x??y??z??xy?0,?yz?a,?zx?b,计算主应力?1、?2、?3，并求?2的主方向。
2—20 证明下列等式：
12(1) J2?I2?I1 ;
31(3) I2??(?ii?kk??ik?ik);
2?J2?Sij; (5) ?Sij2—21* 证明等式：J3?(2) J3?I3?(4) J2?(6)
123I1I2?I1; 3271SijSij; 2?J2?Sij. ??ij1SikSkmSmi。 32—22* 试证在坐标变换时，I1为一个不变量。要求：(a) 以普通展开式证明； (b) 用张量计算证明。
?538???2—23 已知下列应力状态：?ij??303?MPa，试求八面体单元的正应力?8与剪
??8311??应力?8。
2—24* 一点的主应力为：?1?75a,?2?50a,?3??50a，试求八面体面上的全应力P8，正应力?8，剪应力?8。
2—25 试求各主剪应力?1、?2、?3作用面上的正应力。
2—26* 用应力圆求下列(a)、(b) 图示应力状态的主应力及最大剪应力，并讨论若(b)图中有虚线所示的剪应力??时，能否应用平面应力圆求解。
题2—26图
2—27* 试求：如(a) 图所示，ABC微截面与x、y、z轴等倾斜，但?xy?0,?yz?0,?zx?0,试问该截面是否为八面体截面？如图(b) 所示，八面体各截面上的?8指向是否垂直棱边？
8
题2—27图
2—28 设一物体的各点发生如下的位移：
u?a0?a1x?a2y?a3z
v?b0?b1x?b2y?b3z w?c0?c1x?c2y?c3z式中a0?,a1?,a2?为常数，试证各点的应变分量为常数。
2—29 设已知下列位移，试求指定点的应变状态。
(1) u?(3x2?20)?10?2,v?(4yx)?10?2，在（0，2）点处。
(2) u?(6x2?15)?10?2,v?(8zy)?10?2,w?(3z2?2xy)?10?2，在（1，3，4）点处。 2—30 试证在平面问题中下式成立：
?x??y??? x???y 2—31 已知应变张量
??6?20???10?3?ij???2?40 ???00??0?试求：（1）应变不变量；（2）主应变；（3）主应变方向；（4）八面体剪应变。 2—32 试说明下列应变状态是否可能存在：（式中a、b、c为常数）
?c(x2?y2)cxy0???(1) ?ij??cxycy20?
?000????2axy0??0ax2y (2) ?ij???1?122(ax?by)(az2?by2)?2?21?(ax2?by2)?2?122(az?by)? 2??0???c(x2?y2)cxyz0???cy2x0? (3) ?ij??cxyz?000???2—33* 试证题2—33图所示矩形单元在纯剪应变状态时，剪应变?xy与对角线应变?oB之
间的关系为?oB?1（用弹塑性力学转轴公式来证明） ?xy。2 9
题2—33图
2—34 设一点的应变分量为?x?1.0?10?4，?y?5.0?10?4，?z?1.0?10?4，
?xy??yz?1.0?10?4，?zx?3.0?10?4，试计算主应变。
2—35* 已知物体中一点的应变分量为
?104?2???10?4?ij??453 ?????23?1??试确定主应变及最大主应变的方向。
2—36* 某一应变状态的应变分量?xy和?yz=0，试证明此条件能否表示?x、?y、?z中之一为主应变？
2—37 已知下列应变状态是物体变形时产生的：
?x?a0?a1(x2?y2)?x4?y4,
?y?b0?b1(x2?y2)?x4?y4,?xy?c0?c1xy(x2?y2?c2),?z??zx??yz?0.
试求式中各系数之间应满足的关系式。
2—38* 试求对应于零应变状态（?ij?0）的位移分量。
2—39* 若位移分量ui和ui?所对应的应变相同，试说明这两组位移有何差别？ 2—40* 试导出平面问题的平面应变状态（?x??zx??zy?0）的应变分量的不变量及主应变的表达式。
2—41* 已知如题2—41图所示的棱柱形杆在自重作用下的应变分量为：
?z??z ?z?,?x??y??;?xy??yz??zx?0;
EE试求位移分量，式中?为杆件单位体积重量，E、?为材料的弹性常数。
?x??y??z??xy?0, 2—42 如题2—42图所示的圆截面杆扭转时得到的应变分量为：
?zy??x,?zx???y。试检查该应变是否满足变形连续性条件，并求位移分量u、v、w。设
在原点处u0?v0?w0?0,dz在xoz和yoz平面内没有转动，dx在xoy平面内没有转动。
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