光滑面。求：1）滑移场，标出?、?线及中心角度数；2）求极限荷载p0；3）作速度图，设AB面以V的速度向下运动。
题12—8图 题12—9图
附录一 张量概念及其运算·下标记号法·求和约定
附—1 由张量求和约定展开下列各式：
(1) ?ij?ij (5) ?i?i
2(2) ?ij
(3) aijbici (7) ?ij?j
(4) ?ij?ij (8) ?'ij
(6) ?'i
附—2 证明下式成立
(1) ?ij?jk?km??im
(2) aij?jk?aik (4)
2??ij(3) ?ij?mk?kj?m??ij?,k
??mm?2?ii
附—3* 试展开方向余弦关系式，并说明其几何意义：
(1) njnj?1 (2) likljk??ij
26
习题参考答案及解题提示
第二章 应力理论·应变理论
2—1 ?=127MPa, P?= 110MPa, ??= 95.5MPa, ???55.1MPa（弹塑性力学中该剪应力为负值）
2—2 ?1?72.4MPa，?2?27.6MPa，?1与?x的交角?0?58.3?。弹性力学与材料力学主方向计算的结果一致。
2—3 ????6.8MPa，????3.6MPa（弹塑性力学中该剪应力为正值）
2—4* (a)、(b)、(c) ?max?30MPa。最大剪切面为：
pa2pa3pa3pa2bpa22—5* xB? , xc?, ?B??, yc??, ?c??2EJ3EJ3EJ2EJ2EJ?(l?z)Wl2—6 ?x?,?l?,(W??Al)
E2EA2—7* 参见一般材料力学教材。
2—8 满足?X?0，不满足?Y?0的平衡微分方程。
2—9 ?n?26，?n?108.7，Pn?111.8 （应力单位：Mpa）
2—10 Pn??n??n?0
2—11 （a）?xy?Tcosa,?y?Tsina
（b）?xsin???xycos??Tcosa,?xysin???ycos??Tsina （c）?x??xyctg?,?y??xytg?
（d）?x??xyctg??(h?y)?,?y??yztg??(h?y)? （e）?x???(h?y),?xy?0 （f）y?0边界；?y?qx?z,x?q,?xy?0；
l?x??yxctga，y?(l?x)tga边界：
?y??xytga。
2—12 提示：分别列出尖角两侧AC与BC自由面的应力边界条件。
2—14* ?zx???ztga,?x??ztg2a。
32g?2?1ctg?,d??1ctg?。 2—15 a?0,b???1,c??ct?3QdM222—16* 当上、下表面?xy，式中。 (h?4y)Q?h?0时，可求得?xy?3y??dx2bh22—17 ?1?17.08MPa，或?139.63?， ?2?4.92MPa。?1与x轴间的夹角?0?40.27?，
222—18* ?1??yz，?2?0, ?3???1。 ??zx2—19 ?1?a2?b2，?2?0, ?3??a2?b2；
??ab?3的主方向 ??,?,0?。
??a2?b2a2?b2??2—22* (b) 提示：应用?i?j???ijli??ilj?j及likljk??ij来计算?ii??ii。
2—23 ?8?5.333MPa，?8?8.654MPa。 2—24* P8?59.5a,?8?25.0a,?8?54.1a。
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2—25 ?1:?2??32222—26* （a）?1?74,?2??34,?max?54 (MPa)； （b）?1?70,?2?60,?3??60 (MPa)；
;?2:?3??1;?3:?1??2。
（b）图有??时，不能用平面应力圆计算。
2—27* （a）按定义不为八面体面。(b) ?8指向不一定垂直棱边，其方向由主应力的大小来决定。
?040??120?3?????10?2032112—29 (1)?ij??400??10?2； (2)?ij??。 ?????000????31124?????0.01,I2???2?10?5,I3??0； 2—31 （1）I1 （2）?2??2.764?10?3,?3??7.236?10?3；
（3）?1(0,0,?1), ?2(?0.53,?0.86,0), ?3(?0.86,?0.53,0)； （4）?8?5.96?10?3。
2—32 （1）为可能应变状态。（2）、（3）为不可能应变状态。 2—34 ?1?6.00?10?4,?2?3.00?10?4,?3??2.00?10?4。
2—35* ?1?12.2?10?4,?2?4.95?10?4,?3??3.17?10?4，?1的方向余弦（0.862, 0.503, 0.058）。
2—36* ?y是主应变。
2—37 c1?4,a1?b1?2c2?0
2—38* 提示：如求u，要根据几何方程对du积分，因为u?u(x,y,z)，所以要先计??u?u?u??u?u?u?u?dx?dy?dz。即u??du???，其中如计算又要先,,??x?y?z??x?y?z?x??????u??u???u????u?????u????u????u??????dx?求它的偏导数??,??,??，即??dy???dz?，?x?y??x??z??x???x??x??y??x??z??x???x??x?算u的偏导数：
依次进行才可得u。同样方法再求v、w。答案为：
u?u0??yz??zy?? v?v0??zx??xz?
w?w0??xy??yx??式中u0、v0、w0为物体沿x、y、z轴方向的刚性平移，?x、?y、?z为物体绕x、y、z轴的刚性转动。它们都是积分常数，由位移约束条件来确定。
2—39* 两组位移之间仅相差一个刚性位移。
12???x??y, I2???x?y??xy??0。 2—40* I1,I32?x??y?1?1?x??y1222?设(???)?????(?x??y)2??xy??0；2。?xyxy?32222?2—41* 提示：由几何方程积分
?w?z?x???zE??z?v?y????yE??z?u?z????xE得w???2E???yz?得v???c2(x,z)?
E???xz?得u???c3(y,z)?E??c1(x,y)?? ???z2 (a)
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?c(y,z)?c2(x,z)?u?u (b) ??0 ??0，得 3?y?x?y?x式（b）表明c2,c3与z无关（由于对z轴的对称性，u、v与z关系相同，如有z项，上式不
引用式（a），由?xy?为零）且仅是c2为x，c3为y的一次函数。故c2?a1x?b1,c3??a1y?b2，又
?yz??zx??y?c1(x,y)?w?v??0得???1?y?zE?y??x?c1(x,y)?w?u???0得???0?x?zE?xd(x2?y2)得：c1????? ??? (c)
由（c） dc1???2E??2E (x2?y2)?a3x?b3y?d1，于是得位移表达式为：
??E????v??zy?a1x?b1 (d) ?
E??2??22w?z?(x?y)?a3x?b3y?d1??2E2E?式（d）线性部分为刚性位移。设上端位移边界条件x?y?0,z?l处，① u = v = w = 0，
?v?u② 微线段dx不发生绕z轴的转动：?0，③微线段dz不发生绕y和x轴转动：?0和
?x?z?l2?v代入式（d）可得位移： ?0，于是有a1?b1?b2?a3?b3?0,d1??2E?z??v??2 u??xz,v??yz,w?z??(x2?y2)?l2。
EE2E 2─42* u???yz,v??zx,w?0。
u??zx?a1y?b2????
第三章 弹性变形·塑性变形·本构方程
3—4* ?s?0.577?s 3—7
K1?6.3?103，钢的体积弹性模量数值大。 K23—8 ?3??0.9?10?4
3—9* ?1?0,?2??19.8MPa，?3??60MPa，?1?3.76?10?4，?2?0，
?3??7.64?10?4
3—10* 提示：先利用钢套与铝柱侧向应变相等计算出相互侧向压力：q = 2.8MPa，再由薄壁筒公式求出钢套周向应力：??= 28MPa。
p(1??)(1?2?)?3—11 ?1??2??q,?3??p,q?p，e???,
1??E1??p(1?2?)1，换成刚体时E??，e?0。换成不可压缩体时??,e?0。 ?max?2(1??)22?x1?2?21??2123—13* U? V, Uv??xV, Ud??xV; Kv?(1?2?); Kd?(1??)。
2E6E3E333—15* 提示：注意本题应力状态为单向应力状态，而由于横向变形的产生，所对应的应变状态为三向应变状态，可用应力与应变圆对应关系计算。所求截面与横坐标轴?x方向
1??余弦为： cos2a0??
1??
29
E???3—16 ?p?(???s)?1??
E??3—17 （a）1∶0∶-1 （b）1∶0∶-1； 3—18 d??:d?r:d?z?1:?1:0
23—20 提示：对于（2）情形，两端固定，因径向内压力会促使薄壁圆筒涨开并缩短，故轴向为拉应力。
?t2?st答案：Mises：（1）p?s （2）和（3）均为：p? ?rr3?tTresca：（1）、（2）和（3）均为：p?s
r3t?s2t?s3—21* Mises （1）p?；Mises （2）（3）与Tresca（1）（2）（3）均为：p?
rrqr3—22 （1）Tresca、Mises：??s
2tp?p6M?6M（2）Tresca、Mises：??2??s ?设2??
bh?bhbh?bh1113—23 增量：?1??s??p, ?2??3??(?s??p); d?1p:d?2p:d?3p?1:?:?
222111全量：?1??,?2??3???;?1:?2:?3?1:?:?
222式中?为单拉时的总应变，?s?3—24 ??0.707?s，??0.408?s。
3—25 提示：根据纯剪计算?,?，代换??f(?)的函数形式。答案：??3f(3?)。 3—26* ?z?
,??z?sth。l chl33—19 ?z???s; d?rp:d??p:d?zp:d?zp???1:?1:2:6
?2E。
?s?第四章 弹塑性力学基础理论的建立及基本解法
4—1 w?Cz?D， （无刚性平移时D?C）。 2EF2AFm4—2 (a) p??cos2? ； (b) p??cosn?1?。
lln4—5 pe?ps?2?sF
第五章 平面问题的直角坐标解答
5—1 提示：本题为平面应力问题，因为?z?0，不能由三维Lame公式解，可由平面应力问题广义Hooke定律，计算应力分量再求解。
EyE答案： Fx??； [A?(1??)C]F??(?Ax?3By2) y221??1?? 30