题2—41图
题2—42图
第三章 弹性变形·塑性变形·本构方程
3—1 试证明在弹性变形时，关于一点的应力状态，下式成立。
1(1) ?8??8; (2) ??k? （设??0.5）
G?之3—2* 试以等值拉压应力状态与纯剪切应力状态的关系，由应变能公式证明G、E、
间的关系为：
1 G?2(1??)113—3* 证明：如泊松比??，则G?E，???，k??, e?0，并说明此时上述
32各弹性常数的物理意义。
3—4* 如设材料屈服的原因是形状改变比能（畸形能）达到某一极值时发生，试根据单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态确定屈服极限?s与?s的关系。
3—5 试依据物体单向拉伸侧向不会膨胀，三向受拉体积不会缩小的体积应变规律来
1证明泊松比?的上下限为：0???。
223—6* 试由物体三向等值压缩的应力状态来推证：K???G的关系，并验证是否与
3E符合。 K?3(1?2v)3—7 已知钢材弹性常数E1= 210Gpa，v1= 0.3，橡皮的弹性常数E2=5MPa，v2= 0.47，试比较它们的体积弹性常数（设K1为钢材，K2为橡皮的体积弹性模量）。
3—8 有一处于二向拉伸应力状态下的微分体（?1?0,?2?0,?3?0），其主应变为?1?1.7?10?4，?2?0.4?10?4。已知? = 0.3，试求主应变?3。
3—9 如题4—9图示尺寸为1×1×1cm的铝方块，无间隙地嵌入——有槽的钢块中。设钢块不变形，试求：在压力P = 6KN的作用下铝块内一点应力状态的三个主应力及主应变，铝的弹性常数E=70Gpa，?= 0.33。
3—10* 直径D = 40mm的铝圆柱体，无间隙地放入厚度为?= 2mm的钢套中，圆柱受轴向压力P = 40KN。若铝的弹性常数E1 = 70GPa，?1 = 0.35，钢的E = 210GPa，试求筒内一点处的周向应力。
11
题3—9图 题3—10图
3—11 将橡皮方块放入相同容积的铁盒内，上面盖以铁盖并承受均匀压力p，如题3—11图示，设铁盒与铁盖为刚体，橡皮与铁之间不计摩擦，试求铁盒内侧面所受到橡皮块的压力q，以及像皮块的体积应变。若将橡皮块换块刚体或不可压缩体时，其体积应变又各为多少？
13—12 已知畸变能Uod?Sijeij，求证
21Uod???。
23—13* 已知截面为A，体积为V的等直杆，受到轴向力的拉伸，试求此杆的总应变能U及体变能UV与畸变能Ud，并求其比值：KV?UV, U
题3—11图
Ud随泊松比?的变化。 U3—14 试由应变能公式根据纯剪应力状态，证明在弹性范围内剪应力不产生体积应变，且剪切弹性模量G?0。
3—15* 各向同性体承受单向拉伸（?1?0, Kd?，试确定只产生剪应变的截面位置。 ?2??3?0）
3—16 给定单向拉伸曲线如题3—16图所示，?s、E、E?均为已知，当知道B点的应变为?时，试求该点的塑性应变。
3—17 给定下列的主应力，试由Prandtl-Reuss，
P:d?PLevy-Mises理论求：d?1P:d?23和d?1:d?2:d?3。
P:?P由Ильющин理论求?1P:?23。
题3—16图
(a) ?1?3?, ?2??， ?3???。 (b) ?1?2?, ?2??， ?3?0。
3—18* 已知一长封闭圆筒，平均半径为r，壁厚为t，承受内压力p的作用，而产生塑性变形，材料是各向同性的，如忽略弹性应变，试求周向、径向和轴向应变增量之比。
3—19 已知薄壁圆筒承受轴向拉应力?z?求屈服时剪应力?z?
及扭矩的作用，若使用Mises条件，试2应为多大？并求出此时塑性应变增量的比值：d?rP:d??P:d?zP:d?zP?。
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?s3—20 薄壁圆筒，平均半径为r，壁厚为t，承受内压力p作用，设?r?0，且材料是
1不可压缩的，??，讨论下列三种情形：
2（1）管的两端是自由的；（2）管的两端是固定的；（3）管的两端是封闭的。
分别对Mises和Tresca两种屈服条件，讨论p多大时管子开始屈服。已知材料单向拉伸试验?s值。
3—21* 按题3—20所述，如已知纯剪试验?s值，又如何？ 3—22 给出以下问题的最大剪应力条件与畸变能条件：
（1）如?s已知，受内压作用的封闭薄壁圆筒。设内压为q，平均半径为r，壁厚为t。材料为理想弹塑性。
（2）如?s已知，受拉力p和弯矩M作用的杆。杆为矩形截面，面积b×h。材料为理想弹塑性。
13—23 设材料为理想弹塑性，??，当材料加载进入塑性状态，试给出筒单拉伸时
2的Prandtl-Reuss增量理论与全量理论的本构方程以及塑性应变增量之间与应变分量之间的比值。
3—24 设已知薄壁圆管受拉伸与扭矩，其应力为?z??，?z???，其它应力为零。若使
??3保持为常数的情况下进入塑性状态，试分别用增量理论与全量理论求圆管中的?应力值。
3—25 已知某材料在纯剪时的曲线??f(?)，问(?,?)曲线是什么形式？ 3—26* 由符合Mises屈服条件的材料制成的圆杆，其体积是不可压缩的，若首先将杆
K拉至屈服，保持应变不变，再扭至??，式中R为圆杆的半径，K为材料的剪切屈服极
GR限，试求此时圆杆中的应力值。
第四章 弹塑性力学基础理论的建立及基本解法
4—1 设某一体力为零的物体的位移分量为：试求位移函数w(z)。 w?w(z)，u?v?0，
M4—2* 试证明应力分量?x?y，?y??xy?0是两端受弯矩M作用的单位厚度狭长
J矩形板的弹性解，并设l??h。见题4—2图。
题4—2图 题4—4和题4—5图
4—3 已知平面应力问题的应变分量为：?x?Axy, ?y?By3, ?xy?Cy2?D，试证此应变分量能满足变形谐调条件。
4—4 题4—4图所示的受力结构中，1、2两杆的长度l和横截面积F相同，两杆材料的本构关系为：(a) ??E? ； (b) ??A?*；试求载荷P与节点C的位移?之间的关系。
4—5 按上题4—4的条件，材料为理想弹塑性，并设a?45?，试求该静定结构的弹性极限载荷Pe与塑性极限载荷Ps。
13
第五章 平面问题的直角坐标解答
5—1 已知平面应力问题的应变分量为：?x?Axy, ?y?By3, ?xy?Cy2?D。试由平衡微分方程求出该弹性体所承受的体力分量Fx及Fy。
5—2 给出函数??axy，试问：（1）检查?是否可以作为应力函数；（2）如以?为应力函数，求出应力分量的表达式；（3）指出在图示矩形板边界上对应着怎样的边界面力。
题5—2图 题5—3图
a13a22试求应力分量（不计体力），y?y能否做为应力函数？若能，
62并画出如题5—3图所示板条上的面力，指出该应力函数所能解的问题。
5—4 试分析下列应力函数对一端固定直杆可解什么样的平面问题：
xy3?q23F??xy???y ?? 2?4c?3c??25—3* 试检查??
题5—4图 题5—5图
5—5* 悬臂梁(?c?y?c,0?x?l)沿下边界受均匀剪力S作用，而上边界和x = l的
端边界不受载荷作用时，可用应力函数：
?xyxy2xy3ly2ly3????S? ?4?4c?4c2?4c?4c2?
??求出应力解答。并说明，此解答在哪些方面必须用圣维南原理解释。
5—6* 已求得三角形坝体的应力场为：?x?ax?by，?y?cx?dy，?xy??yx??dx
?ay??x，?xz??yz??z?0，其中?为坝体材料的容重，?1为水的容重。试根据边界条件
求常数a、b、c、d的值。
5—7* 很长的直角六面体在均匀压力q的作用下，放置在绝对刚性和光滑的基础上，不计体力，试确定其应力分量和位移分量。
5—8 如题5—3图所示的两端简支梁，全梁只承受自重的作用，设材料的比重为?，试检验应力函数??Ax2y3?By5?Cy3?Dx2y能否成立，并求出各系数及应力分量。
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题5—6图 题5—7图
5—9* 上端固定悬挂的棱柱杆，设其内部应力为：?z??g(l?2)???yz??zxp, ?x??y??xy A?0。试求此杆所受的体力及侧面和上、下端面所受的外载荷。A是杆的横截面
积。
题5—9图 题5—10图
??ax3 5—10 设图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的比重为p，试用纯三次式：?bx2y?cxy2?dy3的应力函数求解应力分量。
5—11* 设有矩形截面的柱体，在一边侧面上受均匀剪力p如题5—11图所示，若柱的
体力不计，试求应力分量。
5—12* 图中的悬臂梁受均布载荷q = 100KN/m作用，试求其最大应力： （1）用应力函数
?2q22???1y?????x?xy?(x?y)?tg ??? ?4x???????2?1??4??（2）用材料力学求解，并比较以上结果。 5—13* 设应力函数为：??f(y)sinax,(a?件？
5—14* 如图所示梁的上部边界作用着载荷：q(x)?q0sinax,(a?力分量。
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n?)，试问函数f(y)应满足什么样的条l2?)，试求梁内的应l