一．解答题（共30小题）
1．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）． （1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；
（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；
（2）过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，可设出C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出△BOC的面积，由条件可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标；
（3）设MB交y轴于点N，则可证得△ABO≌△NBO，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MG⊥y轴于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得
的值，当点P在第一象限内时，过P作PH⊥x轴于点H，由
=
=
的值，可求得PH和OH，可求得
条件可证得△MOG∽△POH，由
P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标． 【解答】解：
（1）∵B（2，t）在直线y=x上， ∴t=2，
∴B（2，2），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得∴抛物线解析式为y=2x2﹣3x；
（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，
，解得
，
∵点C是抛物线上第四象限的点，
∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t）， ∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，
∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=CD?OE+CD?BF=（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t， ∵△OBC的面积为2， ∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1， ∴C（1，﹣1）；
（3）存在．连接AB、OM． 设MB交y轴于点N，如图2，
∵B（2，2），
∴∠AOB=∠NOB=45°，
在△AOB和△NOB中
∴△AOB≌△NOB（ASA）， ∴ON=OA=， ∴N（0，），
∴可设直线BN解析式为y=kx+， 把B点坐标代入可得2=2k+，解得k=， ∴直线BN的解析式为y=x+，
联立直线BN和抛物线解析式可得，解得或，
∴M（﹣，），
∵C（1，﹣1），
∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2）， ∴OB=2
，OC=
，
∵△POC∽△MOB， ∴
=
=2，∠POC=∠BOM，
当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，
∵∠COA=∠BOG=45°，
∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO， ∴△MOG∽△POH，
∴===2， ）， ， ，OH=OG=）；
，
∵M（﹣，∴MG=，OG=∴PH=MG=∴P（
，
当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，
同理可求得PH=MG=∴P（﹣
，﹣
）；
，OH=OG=，
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（﹣，﹣）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用C点坐标表示出△BOC的面积是解题的关键，在（3）中确定出点P的位置，构造相似三角形是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止