运动，设运动时间为t秒．连接PQ． （1）填空：b=
，c= 4 ；
（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由； （3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；
（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4）．将a=﹣代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；
（2）连结QC．先求得点C的坐标，则PC=5﹣t，依据勾股定理可求得AC=5，CQ2=t2+16，接下来，依据CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2列方程求解即可；
（3）过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，首先证明△PAG∽△ACO，依据相似三角形的性质可得到PG=t，AG=t，然后可求得PE、DF的长，然后再证明△MDP≌PEQ，从而得到PD=EQ=t，MD=PE=3+t，然后可求得FM和OF的长，从而可得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（4）连结：OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．首先依据三角形的中位线定理得到RH=QO=t，RH∥OQ，NR=AP=t，则RH=NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是∠QNQ′的平分线，然后求得直线NR和BC的解析式，最后求得直线NR和BC的交点坐标即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4）．将a=﹣代入得：y=﹣x2+x+4， ∴b=，c=4．
（2）在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形． 理由如下：连结QC．
∵在点P、Q运动过程中，∠PAQ、∠PQA始终为锐角， ∴当△APQ是直角三角形时，则∠APQ=90°． 将x=0代入抛物线的解析式得：y=4， ∴C（0，4）． ∵AP=OQ=t， ∴PC=5﹣t，
∵在Rt△AOC中，依据勾股定理得：AC=5，在Rt△COQ中，依据勾股定理可知：CQ2=t2+16，在Rt△CPQ中依据勾股定理可知：PQ2=CQ2﹣CP2，在Rt△APQ中，AQ2﹣AP2=PQ2，
∴CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2，即（3+t）2﹣t2=t2+16﹣（5﹣t）2，解得：t=4.5． ∵由题意可知：0≤t≤4，
∴t=4.5不合题意，即△APQ不可能是直角三角形． （3）如图所示：
过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，则PG∥y轴，∠E=∠D=90°． ∵PG∥y轴， ∴△PAG∽△ACO， ∴
=
=
，即
=
=，
∴PG=t，AG=t，
∴PE=GQ=GO+OQ=AO﹣AG+OQ=3﹣t+t=3+t，DF=GP=t． ∵∠MPQ=90°，∠D=90°，
∴∠DMP+∠DPM=∠EPQ+∠DPM=90°， ∴∠DMP=∠EPQ． 又∵∠D=∠E，PM=PQ， ∴△MDP≌PEQ，
∴PD=EQ=t，MD=PE=3+t，
∴FM=MD﹣DF=3+t﹣t=3﹣t，OF=FG+GO=PD+OA﹣AG=3+t﹣t=3+t， ∴M（﹣3﹣t，﹣3+t）． ∵点M在x轴下方的抛物线上，
∴﹣3+t=﹣×（﹣3﹣t）2+×（﹣3﹣t）+4，解得：t=∵0≤t≤4， ∴t=
．
．
（4）如图所示：连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．
∵点H为PQ的中点，点R为OP的中点， ∴RH=QO=t，RH∥OQ． ∵A（﹣3，0），N（﹣，0）， ∴点N为OA的中点． 又∵R为OP的中点， ∴NR=AP=t， ∴RH=NR， ∴∠RNH=∠RHN． ∵RH∥OQ， ∴∠RHN=∠HNO，
∴∠RNH=∠HNO，即NH是∠QNQ′的平分线．
设直线AC的解析式为y=mx+n，把点A（﹣3，0）、C（0，4）代入得：解得：m=，n=4，
∴直线AC的表示为y=x+4．
同理可得直线BC的表达式为y=﹣x+4．
设直线NR的函数表达式为y=x+s，将点N的坐标代入得：×（﹣）+s=0，解得：s=2，
∴直线NR的表述表达式为y=x+2． 将直线NR和直线BC的表达式联立得：∴Q′（，
）．
，解得：x=，y=
，
，
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定
系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，依据勾股定理列出关于t的方程是解答问题（2）的关键；求得点M的坐标（用含t的式子表示）是解答问题（3）的关键；证得NH为∠QHQ′的平分线是解答问题（4）的关键．
3．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y=
．
（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；
（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；
②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值； （3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．
【分析】（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y=5，8）代入y=﹣ax+3求解即可；
（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数为y=
，①分为m
，将然后将点A（﹣
＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x≤3时的最大值和最小值；
（3）首先确定出二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．