【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）
，抛物线解析式为y=x2
在抛物线上，∴，解得：
﹣x﹣2；
（2）令y=x2﹣x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=4，当x=0时，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣2），设BC的解析式为y=kx+b，则，解得：
，∴
y=x﹣2， 设D（m，0）， ∵DP∥y轴，
∴E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2）， ∵OD=4PE，
∴m=4（m2﹣m﹣2﹣m+2）， ∴m=5，m=0（舍去），
∴D（5，0），P（5，），E（5，），
∴四边形POBE的面积=S△OPD﹣S△EBD=×5×﹣1×=
；
（3）存在，设M（n，n﹣2）， ①以BD为对角线，如图1， ∵四边形BNDM是菱形， ∴MN垂直平分BD， ∴n=4+， ∴M（，），
∵M，N关于x轴对称， ∴N（，﹣）； ②以BD为边，如图2， ∵四边形BNDM是菱形， ∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，
过M作MH⊥x轴于H， ∴MH2+DH2=DM2，
即（n﹣2）2+（n﹣5）2=12， ∴n1=4（不合题意），n2=5.6， ∴N（4.6，），
同理（n﹣2）2+（4﹣n）2=1， ∴n1=4+（不合题意，舍去），n2=4﹣，
∴N（5﹣
，﹣
），
③以BD为边，如图3， 过M作MH⊥x轴于H， ∴MH2+BH2=BM2，
即（n﹣2）2+（n﹣4）2=12， ∴n1=4+，n2=4﹣（不合题意，舍去），
∴N（5+
，
），
综上所述，当N（，﹣）或（4.6，）或（5﹣，﹣
），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．
）或（5+
，
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、勾股定理，三角形的面积公式、菱形的性质、根据题意画出符合条件的图形是解题的关键．
10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；
（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴
于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标． 【解答】解：
（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点， ∴
，解得
，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）∵AD=5，且OA=1， ∴OD=6，且CD=8， ∴C（﹣6，8），
设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8， 代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3， ∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8）， ∵C（﹣6，8），
∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位， ∴m的值为7或9；
（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9， ∴抛物线对称轴为x=2， ∴可设P（2，t），
由（2）可知E点坐标为（1，8），
①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，
则∠BEF=∠BMP=∠QPN， 在△PQN和△EFB中
∴△PQN≌△EFB（AAS）， ∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4， 设Q（x，y），则QN=|x﹣2|， ∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，
当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7， ∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）； ②当BE为对角线时， ∵B（5，0），E（1，8），
∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4）， 设Q（x，y），且P（2，t），
∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5， ∴Q（4，5）；
综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平移的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）注意待定系数法的应用，在（2）中求得平移后C点的对应点的坐标是解题的关键，在（3）中确定出Q点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．