【解答】解：（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y=5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，解得：a=1． （2）二次函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数为y=
，将点A（﹣
①当m＜0时，将B（m，）代入y=x2﹣4x+得m2﹣4m+=，解得：m=2+（舍去）或m=2﹣
．
当m≥0时，将B（m，）代入y=﹣x2+4x﹣得：﹣m2+4m﹣=，解得：m=2+
或m=2﹣
． 或m=2+
或m=2﹣
．
综上所述：m=2﹣
②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，
∴此时y的最大值为
．
当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为﹣，当x=2时，有最大值，最大值y=．
综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值为最小值为﹣；
（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．
，
所以当x=2时，y=1，即﹣4+8+n=1，解得n=﹣3．
如图2所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点
∵抛物线y=x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1， ∴﹣n=1，解得：n=﹣1．
∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图3所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y=﹣x2+4x+n经过点（0，1）， ∴n=1．
如图4所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
∵抛物线y=x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1）， ∴+2﹣n=1，解得：n=．
∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2
个公共点．
综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与 A，B点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F． （1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式； （2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；
（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法，将A，B，C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，易证△ADG～△EBH，根据相似三角形对应边比例相等即可解题； （3）开放性答案，代入法即可解题；
【解答】解：（1）将A、C点带入y=ax2+b1x+c1中，可得：
，解得：
，
∴抛物线L1解析式为y=
；
同理可得：，解得：，
∴抛物线L2解析式为y=﹣x2+x+2；
（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，
由题意得：，解得：，
∴抛物线L1解析式为y=﹣x2+（m﹣4）x+4m； ∴点D坐标为（∴DG=
=
，
，AG=
）， ；
同理可得：抛物线L2解析式为y=﹣x2+（m+4）x﹣4m； ∴EH=
=
，BH=
，
∵AF⊥BF，DG⊥x轴，EH⊥x轴， ∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°，
∵∠DAG+∠ADG=90°，∠DAG+∠EBH=90°， ∴∠ADG=∠EBH， ∵在△ADG和△EBH中，
，
∴△ADG～△EBH， ∴
=
，
∴=
，化简得：m2=12，
解得：m=±
；
（3）存在，例如：a=﹣，﹣； 当a=﹣时，代入A，C可以求得：
抛物线L1解析式为y=﹣x2+（m﹣4）x+m；
同理可得：抛物线L2解析式为y=﹣x2+（m+4）x﹣m； ∴点D坐标为（∵A（﹣4，0）， ∴直线AF的解析式为y=∵B（4，0），
∴直线BF的解析式为y=联立①②解得，点F（﹣m，∴OF2=m2+（假设AF⊥BF，
∴△ABF是直角三角形， ∴OF=AB=4， ∴OF2=16， ∴m2+（
）2=16，
）2，
x﹣
），
②
x+
①
，
），点E坐标为（
，
）；
化简得，m4+4m2﹣320=0，
解得，m=4（直线BF平行于x轴，不符合题意）或m=﹣4（直线AF平行于x轴，不符合题意），
所以，AF不可能和BF垂直，
同理可求得a=﹣时，AF不可能和BF垂直．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，还考查了相似三角形的判定和相似三角形对应边比例相等的性质；本题作出辅助线并证明△ADG～△EBH是解题的关键．
5．如图，已知抛物线y=ax2﹣2
ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中