C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．
（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；
（3）证明：当直线l绕点D旋转时，
+
均为定值，并求出该定值．
【分析】（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；
（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO=60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO=30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（
，a）．依据两点的距离公式可求得AD、
AP、DP的长，然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可； （3）设直线MN的解析式为y=kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可． 【解答】解：（1）∵C（0，3）． ∴﹣9a=3，解得：a=﹣． 令y=0得：ax2﹣2 ∵a≠0， ∴x2﹣2
x﹣9=0，解得：x=﹣
或x=3
．
ax﹣9a=0，
∴点A的坐标为（﹣∴抛物线的对称轴为x=（2）∵OA=∴tan∠CAO=∴∠CAO=60°．
，0），B（3．
，0）．
，OC=3， ，
∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠DAO=30°． ∴DO=
AO=1．
∴点D的坐标为（0，1） 设点P的坐标为（
，a）．
依据两点间的距离公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2． 当AD=PA时，4=12+a2，方程无解．
当AD=DP时，4=3+（a﹣1）2，解得a=0或a=2（舍去）， ∴点P的坐标为（
，0）．
当AP=DP时，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4． ∴点P的坐标为（
，﹣4）．
，0）或（
，﹣4）．
m+3=0，
综上所述，点P的坐标为（
（3）设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：﹣解得：m=
，
x+3．
∴直线AC的解析式为y=
设直线MN的解析式为y=kx+1．
把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=﹣， ∴点N的坐标为（﹣，0）． ∴AN=﹣+将y=
=
．
．
x+3与y=kx+1联立解得：x=
．
∴点M的横坐标为
过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG=+．
∵∠MAG=60°，∠AGM=90°， ∴AM=2AG=∴
+
=
+2+
=
=
．
+
=
=
=
．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M的坐标和点N的坐标是解答问题（3）的关键．
6．如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．
（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；
（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；
（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．
①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值； ②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．
【分析】（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．在Rt△ADH中，解直角三角形，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）如图1﹣1中，设P（2，m）．由∠CPA=90°，可得PC2+PA2=AC2，可得22+（m﹣6）2+22+m2=42+62，解方程即可；
（3）①求出D′的坐标；②构建方程组，利用判别式△＞0，求出抛物线与直线AE有两个交点时的m的范围；③求出x=m时，求出平移后的抛物线与直线AE的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断．
【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．
∵四边形CDHO是矩形， ∴OC=DH=6， ∵tan∠DAH=∴AH=3， ∵OA=4， ∴CD=OH=1， ∴D（1，6），
把D（1，6），A（4，0）代入y=ax2+bx中，则有解得
，
，
=2，
∴抛物线M1的表达式为y=﹣2x2+8x．
（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．
∵∠CPA=90°， ∴PC2+PA2=AC2，
∴22+（m﹣6）2+22+m2=42+62， 解得m=3±
，
∴P（2，3+
），P′（2，3﹣）．
（3）①如图2中，
易知直线AE的解析式为y=﹣x+4， x=1时，y=3， ∴D′（1，3），
平移后的抛物线的解析式为y=﹣2x2+8x﹣m， 把点D′坐标代入可得3=﹣2+8﹣m， ∴m=3． ②由
，消去y得到2x2﹣9x+4+m=0，
当抛物线与直线AE有两个交点时，△＞0， ∴92﹣4×2×（4+m）＞0， ∴m＜
，
或2﹣
（舍弃），
③x=m时，﹣m+4=﹣2m2+8m﹣m，解得m=2+综上所述，当2+
≤m＜
时，抛物线M2与直线AE有两个交点．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程组，利用判别式解决问题，属于中考压轴题．
7．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的