坐标；
（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止．当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
【分析】（1）由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式，化为顶点式可求得顶点坐标；
（2）过P作PC⊥y轴于点C，由条件可求得∠PAC=60°，可设AC=m，在Rt△PAC中，可表示出PC的长，从而可用m表示出P点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值，即可求得P点坐标；
（3）用t可表示出P、M的坐标，过P作PE⊥x轴于点E，交AB于点F，则可表示出F的坐标，从而可用t表示出PF的长，从而可表示出△PAB的面积，利用S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB，可得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值． 【解答】解：
（1）根据题意，把A（0，6），B（6，0）代入抛物线解析式可得解得
，
，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+6， ∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8， ∴抛物线的顶点坐标为（2，8）；
（2）如图1，过P作PC⊥y轴于点C，
∵OA=OB=6， ∴∠OAB=45°，
∴当∠PAB=75°时，∠PAC=60°， ∴tan∠PAC=
，即
=m，
，
设AC=m，则PC=∴P（
m，6+m），
m）2+2
m+6，解得m=0
把P点坐标代入抛物线表达式可得6+m=﹣（或m=
﹣，
经检验，P（0，6）与点A重合，不合题意，舍去， ∴所求的P点坐标为（4﹣
，+）；
（3）当两个动点移动t秒时，则P（t，﹣t2+2t+6），M（0，6﹣t），
如图2，作PE⊥x轴于点E，交AB于点F，则EF=EB=6﹣t， ∴F（t，6﹣t），
∴FP=﹣t2+2t+6﹣（6﹣t）=﹣t2+3t，
∵点A到PE的距离竽OE，点B到PE的距离等于BE，
∴S△PAB=FP?OE+FP?BE=FP?（OE+BE）=FP?OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t，且S△AMB=AM?OB=×t×6=3t，
∴S=S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB=﹣t2+12t=﹣（t﹣4）2+24， ∴当t=4时，S有最大值，最大值为24．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、直角三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积及方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中构造Rt△PAC是解题的关键，在（3）中用t表示出P、M的坐标，表示出PF的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
8．如图，直线y=﹣
x+
分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴
经过A，B两点．
上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+（1）求A、B两点的坐标； （2）求抛物线的解析式；
（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．
【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；
（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值． 【解答】解： （1）∵直线y=﹣
x+
分别与x轴、y轴交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，∴OB=3，OC=∴tan∠BCO=∴∠BCO=60°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACO=30°， ∴
=tan30°=
，即， =
，
），
=，解得AO=1，
∴A（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y=ax2+bx+
经过A，B两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣
x2+
x+；
（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，
∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°， ∴DH=DM，MH=
DM，
DM=
DM，
∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+∴当DM有最大值时，其周长有最大值， ∵点M是直线BC上方抛物线上的一点， ∴可设M（t，﹣∴DM=﹣∴DM=﹣
t2+t2+
t2+t+t+
t+
），则D（t，﹣
t+
t+），
），
），则D（t，﹣﹣（﹣
t+
）=﹣
，
t2+
t=﹣
2
（t﹣）+
，
∴当t=时，DM有最大值，最大值为此时
DM=
×
=
． ，
即△DMH周长的最大值为
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、
二次函数的性质、方程思想等知识．在（1）中注意函数图象与坐标的交点的求法，在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中找到DH、MH与DM的关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E． （1）求抛物线解析式；
（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积； （3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】
【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；
（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式为y=x﹣2，设D（m，0），得到E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5，），E（5，），根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）设M（n，n﹣2），①以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n=4+，于是得到N（，﹣）；②以BD为边，根据菱形的性质得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，根据勾股定理列方程即可得到结论．