班级_______________ 姓名_______________ 学号_______________
3、用初等变换法求下列矩阵的逆阵
?1111?1?32???????11?1?1?（1）A???301? （2）A?? ?1?11?1?1?11??????1?1?11???
4、设n阶方阵A的行列式A?k?0，如果A的第i行上每一个元素乘同一个常数k后得 矩阵B.
（1）证明B可逆，并求B?1?1 （2）求AB?1及BA
?11?1后得到B k11??（4）证明A的第i列上每一个元素乘同一个常数后得到(B)
kk（3）证明A的第i列上每一个元素乘同一个常数
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班级_______________ 姓名_______________ 学号_______________
第三章 n维向量空间与线性方程组
练 习 七
1、 填空题
（1） 设向量
?1?(?1T,4?2)?,T数?(31?,2T),a
和(b4使,11),a?1?b?2??3?0,则a?_______,b?________.
TTT（2） 设向量?1?(1,0,1)则向量??(?1,?1,0)T可?,2?(0,1,0)?,3?(0,0,1),表示为?1,?2,?3的线性组合__________________.
（3） 已知向量组?1?(3,1,a)T,?2?(4,a,0)T,?3?(1,0,a)T，则当a?_____时，
?1,?2,?3线性相关.
（4） 设向量组?1?(1,3,6,2)T,?2?(2,1,2,?1)T,?3?(1,?1,a,?2)T线性无关，则
a应满足条件_____________.
?1?（5） 设三阶矩阵A?2???3a?_________.
2?2?12??,?a(,1,T1)已,知A?与?线性相关，则
?04??2、 设?1?(1,0,0,0)T,?2?(1,1,0,0)T,?3?(1,1,1,0)T,?4?(1,1,1,1)T,试将向量
??(2,1,?1,0)T用?1,?2,?3,?4线性表示.
3、 设?1?(1,4,0,2)T,?2?(2,7,1,3)T,?3?(0,1,?1,a)T,??(3,10,b,4)T,问
（1） a,b取何值时，?不能由?1,?2,?3线性表示？
（2） a,b取何值时，?可由?1,?2,?3线性表示？并写出此表达式.
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4、 设?1?(6,a?1,3)T,?2?(a,2,?2)T,?3?(a,1,0)T,?4?(0,1,a)T,
试问：（1）a为何值时，?1,?2线性相关？线性无关？
（2）a为何值时，?1,?2,?3线性相关？线性无关？ （3）a为何值时，?1,?2,?3,?4线性相关？线性无关？
5、 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Ax?0有解向量?，且A??0.
证明：向量?,A?,...,A
6、 证明向量组?1??2,?2??3,?3??1线性无关的充分必要条件是?1,?2,?3线性无关.
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k?1kk?1?线性无关.
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第三章 n维向量空间与线性方程组
练 习 八
1、 填空题
（1） 已知向量组?1?(1,2,?1,1)T,?2?(2,0,t,0)T,?3?(0,?4,5,?2)T的秩为2，则
t?_____.
（2） 设n维向量组?1,?2,?3,?4的秩为4，则向量组?1??1?k1?2,?2??2?k2?3,
?3??3?k3?4的秩为__________.
（3） 设
?1?(1,2,?3)T,?2?(3,6,?9)T,?3?(3,0,1)T和 ?1?(0,1,?1)T,?2?(a,2,1)T, ?3?(b,1,0)T.
若r(?1,?2,?3,?3)?r(?1,?2,?3)?r(?1,?2,?3),则a?_____,b?____. （4） 若向量组?1?(1,2,3,3)T,?2?(0,1,2,2)T,?3?(3,2,1,k)T生成的向量空间的
维数是2，则k?________.
?1???0（5）设????,??(0,1,0,2),矩阵A???,则r(A)?_______.
??1????2???1??1??2??3?2、 已知向量组（Ⅰ）：?1,?2,?3和向量组（Ⅱ）：?1,?2,?3,且??2??1??2??3
??????????3123试判断向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否等价.
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3、 求向量组?1?(2,1,3,?1)T,?2?(3,?1,2,0)T,?3?(1,3,4,?2)T,?4?(4,?3,1,1)T的一
个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.
4、 设A为m?n矩阵，B为n?m矩阵，且m?n,证明|AB|?0.
5、 设?1,?2,?3是一向量组的极大无关组，且?1??1??2??3,?2??1??2?2?3,
?3??1?2?2?3?3,证明：?1,?2,?3,也是该向量组的极大无关组.
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