班级_______________ 姓名_______________ 学号_______________
4、已知三阶实对称矩阵A的三个特征值为?1?2,?2??3?1,且对应于?2,?3的特征向量
为：
?2?(1,1,?1)T,?3?(2,3,?3)T
(1) 求A的与?1?2所对应的特征向量; (2) 求矩阵A
?05设A=??1???1
1?1?0 1??，求一个正交阵P , 使P?1AP=∧为对角阵.
10??30
班级_______________ 姓名_______________ 学号_______________
第五章 二次型
练 习 十 四
一、选择题： （1）、下列矩阵中，正定矩阵是（ ）
?121??123??1?20??123?????????3? (D) ?257? （A）?253? (B) ?257? (C) ??25?0?130??3710??3712?3?2?????????00??1??mn?3?为正定矩阵，则m必满足（ ） （2）、矩阵A??0?0m?1m???（A）m?13 (B) m? (C) m??2 (D)m与n有关，不能确定 22T（3）、n元二次型XAX正定的充分必要条件是（ ）
（A）存在正交矩阵P使PAP?E （B）负惯性指数为零
（C）A的特征值大于零 （D） 存在n阶矩阵c使A?cc 二、填空题：
（1）二次型
TTf(x,y,z)?x2?4xy?4y2?2xz?z2?4yz，用矩阵表示为______
（2） 二次型
2222 f(x1,x2,x3,x4)?x1?2x2?3x3?4x4?2x1x3?x2x4的符号差为______
（3）实二次型f?2y1?2y2?三、判断下列二次型的正定性
2212y3的规范形为______ 2（1）（2）f?2x12?5x22?5x32?4x1x2?4x1x3?8x2x3 x12?2x22?5x32?2x1x2?4x2x3
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班级_______________ 姓名_______________ 学号_______________
四、设二次型f(x1,x2,x3)?x12?x22?x32?2?x1x2?2?x2x3?2x1x3经正交变换X?PY化成f?y22?2y32，其中X?(x1,x2,x3)T和Y?(y1,y2,y3)T是三维列向量。P是3阶正交矩阵，试求常数?,?的值及所用的正交变换矩阵P。
五、证明若A为n阶可逆实矩阵，则AA是正定矩阵。
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T 班级_______________ 姓名_______________ 学号_______________
阶段检测一
一、填空题（每题3分，共15分）
1523a中元素a的代数余子式为__________ 431、 行列式?121(A)?1?3A??2、 设A为四阶方阵，且A＝2，则2_________
?154???3、 设A??024?，则(A?)?1?___________
?131????300????1?1n4、 设PAP??020?,则PAP?______________
?004???5、 若n阶行列式det(aij)中为0的元素共n?n?1个，则det(aij)＝_________
二、选择题（每题3分，共15分）
1、A,B为n阶方阵且满足等式AB?0,则必有_________
A、A?0或B?0 B、A?B?0 C、A?0或B?0 D、A?B?0
??2、设n阶方阵A的伴随矩阵为A且A?a?0，则A?_______________
2A、a B、
1n?1n C、a D、a a??k为常数且k?0，k??1，3、设A为一n阶方阵，A为其伴随矩阵，则(kA)?_________
A、kA? B、kn?1A? C、knAn D、k?1A?
4、设A为三阶非零实矩阵，且aij?Aij，则A＝_________
A、0 B、1 C、?1 D、2
5、矩阵Am?n,Bn?m，(m?n),则________为n阶方阵
A、AB B、BA C、BTAT D、ATBTB
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班级_______________ 姓名_______________ 学号_______________
三、计算题（每题8分，共24分）
311、 求A?111311113111 13
1?a112、 求A?1......1
11?a2111?a3.........11.....1.....1.....1，其中ai?0
..............1?an34
1