班级_______________ 姓名_______________ 学号_______________
?x1?x2?x3?x4?x5?7?3x?2x?x?x?3x??2?12345四、(10分) 求下列非齐次线性方程组?的通解。
?x2?2x3?2x4?6x5?23??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?12
五、(10分) 证明：设A为n阶幂等矩阵，A?A,则R(A)?R(E?A)?n。
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2 班级_______________ 姓名_______________ 学号_______________
六、(20分) 已知3阶矩阵A和一维向量x，若向量组x,Ax,A2x线性无关且满足
A3x?3Ax?2A2x，记P?(x,Ax,A2x)，求：(1) 3阶矩阵B,使A?PBP?1,(2)计算
行列式A?E
?x1?x2?2x3?3x4?1?x?3x?6x?x?3?1234七、（20分） 问k1,k2为何值时，线性方程组?有唯一解、
3x?x?kx?15x?32134?1??x1?5x2?10x3?12x4?k2无解、有无穷解？并求出有无穷解时的通解。
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阶 段 检 测 三
一、选择题（每题4分，共20分）
?15?
1、设矩阵A=??51??，则A的特征值是（ ）
??
A.1，5 B.6，-4 C.5（二重）
2、下列矩阵中为正定矩阵的是（ ）
?110???
A.?231? ?002???
D.1（二重）
?121?
??
D.?241?
?115???
?432??6?34?????B.?341? C.??312? ?212??421?????3、.以下结论中不正确的是（ ） ．．．
A、.若存在可逆实矩阵C,使A=C?C,则A是正定矩阵
B、.二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22是正定二次型
C.、n元实二次型正定的充分必要条件是f的正惯性指数为n
D、.n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值全为正数 4、设A为n阶实对称方阵且为正交矩阵,则有（ ）
A.A=I B.A相似于I C.A2=I D.A合同于I
5、如果二次型f=X?AX的秩为r,则经满秩线性变换X=PY可化为平方和（ ）
22A.f?a1y1?a2y22???anyn,其中ai?0,i?1,2,??,n, 22B.f?a1y1?a2y22???ar?1yr?1,其中ai?0,i?1,2,??,r?1, 22C.f?a1y1?a2y22???aryr,其中ai?0,i?1,2,??,r, 22D.f?a1y1?a2y22???ar?1yr?1,其中ai?0,i?1,2,??,r?1
二、填空题（每题4分，共20分） 1、设3阶方阵A的特征值是2，?11*
，?，则A的特征值为 ：_______ _______ 44?1??1???1???????2、设?1??2?,?2??0?都是3阶方阵A的属于特征值??2的特征向量，而???2?,则
?0??1???2???????A?＝：_______ _______
3、若A为正交矩阵，则其行列式为：_______ 4、二次型
?xi?1n2i?2?xixi?1对应的矩阵A＝：________________________
i?1n?15、设
22f(x1,x2,x3)?2x12?x2?x3?2x1x2?2tx2x3，则当t满足条件＿＿＿＿时，该二次
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班级_______________ 姓名_______________ 学号_______________
型是正定的。
三、计算题（每题15分，共45分）
1、 在R中，?1=(1,1,1),?2=(1,-2,1)，求向量?3，使?1，?2，?3为正交向量组。 3
?22、求矩阵A???1??1
00?2?1??的5次幂。
01??43
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2223、将二次型17x1?14x2?14x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3通过正交变换化成标准型。
四、证明题（每题15分，共15分）：证明如果A是正定矩阵，那么A也是正定矩阵。
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?1