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第三章 n维向量空间与线性方程组
练 习 十 一
一、选择题
1、设?1,?2,?3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且秩（A）=3，
?1??1,2,3,4?,?2??3??0,1,2,3?，则线性方程组Ax=b的通解为（ ） ?1??1??1??0??1??2??1??3?????????????????21212324A、???k???； B、???k???； C、???k???； D、???k???。
?3??1??3??2??3??4??3??5?????????????????4143454???????????????6?2、已知?1,?2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，?1,?2是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1,k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解必定是（ ） A、k1??1?k2?(?1??2)????1??222???2???2C、k1??1?k2?(?1??2)?1； D、k1??1?k2?(?1??2)?1。
22； B、k1??1?k2?(?1??2)??1??2；
x1?2x2?x3???1??3x2?x3???23、当?取（ ）时，方程组?有无穷多解。
??x?x?(??3)?(??4)?(??2)?23A、1； B、2； C、3； D、4。 二、填空题
1、设?1,?2,?,?s是非齐次线性方程组Ax=b的一组解向量，如果c1??1?c2??2??cs??s也是该方程组的一个解，则c1?c2???cs= ；
?x1??x??22、若线性方程组??x3???x4?件 ；
x2?x3?x4?x1?a1a2有解，则常数a1,a2,a3,a应满足条a3a4?1?a?13、设A??a12?3?a14??a11a22a23a24a21a32a33a34a31a42a43a44a41??x1??1??x??1?a5?2?????2a5?，X??x3?, B??1?,其中
????3?a5x4????1?4???a5?1????x5??ai?aj(i?j;i,j?1,2,?,5)，则线性方程组A?X=B的解是X= 。
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三、计算题
??x1?x2?x3?1?1、试问?取何值时，方程组?x1??x2?x3??无解、有惟一解、有无穷多解？并在有解
?x?x??x??23?12的情况下求出它的所有解。
?x1?x2?2x3?3x4?0?2x?x?6x?4x??1?12342、已知非齐次线性方程组?，试讨论参数p,t取何值时，方程
?3x1?2x2?p?x3?7x4??1??x1?x2?6x3?x4?t组无解、有解？有解时求解。
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第四章 矩阵相似
练 习 十 二
1、填空题
(1) 设n阶方阵A的特征值为?1,?2,?,?n.则kA的特征值为_______________,A的特征
值为_______________,A可逆时,A的特征值为______________ (k为常数). (2) 设n阶方阵A有个n特征值0,1,2,…,n-1,且方阵B与A相似,则︱B+E︱=_____ (3) 已知三阶矩阵A的特征值为-1,1,2. 则矩阵B=(3A*)?1的特征值为___________(其中A为A的伴随矩阵)
*?1k?3?3??4???212 求矩阵A=? 3 ?的特征值和特征向量. ?23?1??
3 设n阶方阵A满足 :A?A。 (1) 求A的特征值; (2) 证明E+A为可逆矩阵
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2 班级_______________ 姓名_______________ 学号_______________
?200???204、设A=?1 2 ?1?, 求A
?101???
5、设三阶矩阵A的特征值为
?1?1,?2?2,?3?3,所对应的特征向量依次为：
?1?(1,1,1)T,?2?(1,2,4)T,?3?(1,3,9)T
(1) 将向量??(1,1,3)T用?1,?2,?3线性表示; (2) 求An? （n为自然数）
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第四章 矩阵相似
练 习 十 三
1、判断题
(1) 任何方阵都能与对角矩阵相似 _____
(2) 若A是实对称矩阵,又是正交矩阵,则A=E _____ (3) 对称矩阵必能正交对角化 _____
2、试用施密特正交化方法将下列向量化为标准正交向量组
2?1?(1,?1,?1)T,?2?(2,?3,1)T,?3?(1,1,3)T
3、已知A,B都是n阶正交矩阵,且︱A︱+│B︱=0 , 证明:︱A+B︱=0
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