的元素，p1?1，故 p2,,pn不能再取1，所以p2?2，即第2行取a22，依此类推，第n行只
能取pn?n，即取元素ann，从而有Ｄ＝
a11a21a22ann＝a11a22ann,
an1an2即D等于主对角线上元素的乘积． 同理可得上三角行列式
a11a12a22a1na2nann?a11a22ann.
作为三角形式特例的对角行列式(除对角线上的元素外，其他元素都为0，在行列式中未写出来)，
a11a22ann例3证明
?a11a22ann.
a1na2,n?1an1
证由行列式的定义
?(?1)n(n?1)2a1na2,n?1an1.
a1na2,n?1an1
其中τ＝τ［n（n-1）…１］为排列n（n-1）…１的逆序数，又τ［n（n-1）…１］＝（n-1)+(n-2)+…＋１＝
?(?1)?a1na2,n?1an1.
(n?1)n,，所以结论得以证明． 2四、 n阶行列式定义的其他形式
利用定理2.1，我们来讨论行列式定义的其他表示法． 对于行列式的任一项
(?1)?(p1p2pn)a1p1a2p2aipiajpjanpn,
其中1…i…j…n为自然排列，对换 aipi与ajpj成
(?1)?(p1p2pn)a1p1aipiajpjanpn,
这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换．设新的行标排列1…j…i…n的逆序数为τ１，则τ１为奇数；设新的列标排列p1,p2,,pn,的逆序数为τ2，则
(?1)?2??(?1)?(p1p2于是
pn),，故(?1)?(p1p2pn)?(?1)?1??2,
(?1)?(p1p2pn)a1p1aipiajpjanpn?(?1)?1??2a1p1aipiajpjanpn
这就说明，对换乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列同时作了一次对换，因此行标排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性．经过一次对换如此，经过多次对换亦如此．于是经过若干次对换，使列标排列［逆序数τ=τ（p1,p2,,pn,）］变为自然排列(逆序数为0)；行
,qn, 则有
标排列则相应地从自然排列变为某个新的排列，设此新排列为q1,q2,(?1)?(q1q2qn)aq11aq22aqnn,
,qn,由排列p1,p2,,pn,所唯
又若 pi?j则 qj?i(即 aipi?aij?aqjj)，可见排列q1,q2,一确定．
由此可得n阶行列式的定义如下： 定理22n阶行列式也可定义为
D??(?1)?(p1p2证 按行列式定义有
pn)a1p1a2p2anpn.（２．３）
D??(?1)?(p1p2记 D1?pn)a1p1a2p2qn)anpn.
aqnn, 按上面的讨论可知：对于D中任一项
qn)?(?1)?(q1q2aq11aq22(?1)?(q1q2qn)aq11aq22aqnn,总有D１中唯一的一项(?1)?(q1q2?(q1q2qn)aq11aq22aqnn,与之对应并相等；反
之，对于D１中的任一项(?1)aq11aq22aqnn,同理总有D中唯一一项
(?1)?(q1q2qn)aq11aq22aqnn,与之对应并相等，所以D＝Ｄ１．
更一般的有n阶行列式的定义如下： 定理23 n阶行列式可定义为
D??(?1)?1??2ap1q1ap2q2其中?1??(p1p2
第三节 行列式的性质
apnqn,(2.4)
pn),?2??(q1q2qn).
记 Ｄ＝
a11a21a12a22a1na2nannan1an2ann
an1an2a11a12a1na21a22a21将其中的行与列互换，即把行列式中的各行换成相应的列，得到行列式
上式称为行列式D的转置行列式，记作 DT(或记为D′)． 性质1 D＝D．
证 记D＝det(aij)的转置行列式
TDT=
b11b12b21b22bnbn2b1nb2nbnn
则bij=aji(i,j=1,2,…,n),按行列式的定义
DT??(?1)?(p1p2Tpn)b1p1b2p2bnpn??(?1)?(p1p2pn)ap11ap22apnn.
由定理2.2知D＝Ｄ．
此性质表明，在行列式中行与列有相同的地位，凡是有关行的性质对列同样成立，反之亦然． 性质2交换行列式的两行(或两列)，行列式改变符号． 证 设行列式
Ｄ１＝
b11b12b21b22bnbn2b1nb2nbnn
是由行列式Ｄ＝det(aij)交换第i和第j两行得到的，当k≠i,j时，bkp=akp;当k=i或j时，bip=ajp,bjp=aip.于是
D1??(?1)?(p1?(p1?(p1?(p1pipipipjpjpjpjpipn)b1p1a1p1a1p1a1p1bipiaipiaipjaipjbjpjajpjajpiajpibnpnanpnanpnanpn??D.
??(?1)??(?1)??(?1)pn)pn)pn)推论1 如果行列式有两行(或两列)完全相同，则此行列式等于零． 证 把这两行互换，有D＝－Ｄ，故Ｄ＝０．
性质3 行列式中某一行(或列)的各元素有公因子，则可提到行列式符号的外面，即
a11kai1an1a12kai2an2a1na11a12ai2an2a1namann
kam?kai1annan1
推论2行列式的某一行(或列)所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘此行列式． 推论3行列式的某一行(或列)的元素全为零时，行列式的值等于零． 性质4若行列式中有两行(列)的元素对应成比例，则此行列式等于零． 性质5若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，如
D?a11a21an1a11a21a12a22an2a12a22?i)(a1i?a1?i)(a2i?a2?)(ani?ania1ia2iania1na2nanna1na2nanna11a21,
则D等于下列两个行列式之和，即
D??a12a22?ia1?ia2?ania1na2nann.
an1an2an1an2?)，从而每一项均可拆成两项之证 在行列式的定义中，各项都有第i列的一个元素(aki?aki和．
性质6把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k后加到另一行(列)对应的元素上去，行
列式的值不变．
例如把行列式的第j列乘以常数k后加到第i列的对应元素上，有
a11a21an1a1ia2ian2a1ia2janja1ia2nann?a11a21an1(a1i?ka1j)(a1i?ka2j)(a1i?kanj)a1ia2janja1ia2nann.
以上没有给出证明的性质，读者可根据行列式的定义证明．
利用这些性质可简化行列式的计算，为了表达简便起见，以ri表示第i行，ci表示第i列，交换i，j两行(列)记为rirj（cicj），第i行(列)乘以数k记为kri(kci），第j行(列)的元素乘以k加到第i行(列)上记为ri+krj(ci+kcj），第i行(列)提取公因式记为ri÷k（ci÷k）．利用行列式的性质将行列式化为上三角行列式，从而算出行列式的值．
例1计算行列式
2D??354解
?57?9?6121272.
?141?1D??2110?0010?00?521?1?5100?57?9?621?1221?332?35426302140??7020?521?12?1122630
2130?0030?510021?302303?1?1?(?3)?3??9例2计算n阶行列式
abbbabD?bbabbbbbb. a
解 注意到行列式的各行(列)对应元素相加之和相等这一特点，把第2列至第n列的元素加到第1列对应元素上去，得
a?(n?1)bbD?a?(n?1)baa?(n?1)bb1b??a?(n?1)b?.1a1bbba
bba