?a1???aA??2?
?????an?称为列矩阵．
两个矩阵若行数相等且列数相等，则称它们是同型的．若A＝(aij）m×n与B＝(bij）m×n同型，且它们的对应元素相等，即
aij?bij(i=1,2,…，m;j=1,2,…，n),
则称矩阵A与B相等，记为
A=B．
元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O．注意不同型的零矩阵是不相等的． 显然，当未知量x1,x2,,xn的顺序排定后，线性方程组(1
1)与矩阵(12)是一一对应的，
于是可以用矩阵来研究线性方程组．
例1 设一组变量x1,x2,,xn到另一组变量y1,y2,ym的变换由m个线性表达式给出：
?y1?a11x1?a12x2??a1nxn,?y?ax?ax??ax,?22112222nn（１．４） ????ym?am1x1?am2x2??amnxn,其中常数aij (i=1,2,…，m;j=1,2,…，n)为变换(1量y1,y2,4)的系数，这种从变量x1,x2,,xn 到变
ym 的变换称为线性变换．线性变换的系数构成m×n矩阵(1
3)，称为线性变换(1
4)的系数矩阵．
例 2 将某种物资从m个产地 A1,A2,,Am运往n个销地B1,B2,,Bn. 用aij表示由产
3)表示．下
地 Ai（i=1,2,…，m)运往销地 Bj（j=1,2,…，n)的物资数量，则调运方案可用矩阵(1面介绍几个重要的n阶方阵．
例3由n个变量x1,x2,,xn到n个变量y1,y2,yn的线性变换
?y1?x1,?y?x,?22 ????yn?xn,称为恒等变换，它的系数矩阵
?10?01E?????000??0? ??1?称为n阶单位矩阵，简称单位阵．n阶单位矩阵的特点是：从左上角到右下角的直线(称为主对角线)上的元素都是1，其他元素都为零．也就是
Ｅ＝（δij），
其中
δij＝1，当i=j时，
０， 当i≠j时．
例4线性变换
?y1??1x1,?y??x,?222 ????yn??nxn,对应的系数矩阵
??10?0?2A?????000??0? ???n?称为对角阵．对角阵的特点是：不在主对角线上的元素都为零．当λ１＝λ２＝…＝λn时，
称此矩阵为数量矩阵．
?a11a12?0a22A????0?0
a1n??a2n? ??ann?称为上三角阵．上三角阵的特点是：主对角线以下的元素全为零，即当i＞j时，aij＝０．类
似地，方阵
?a110??a21a22???an1an2称为下三角阵．
0??0? ??ann?第二节矩阵的运算
一、 矩阵的加法
定义2.1设有两个m×n矩阵： A＝(aij）m×n，B＝(bij）m×n，那么矩阵
C?(cij)m?n?(aij?bij)m?n
?a11?b11a12?b12?a?ba22?b22??2121???am1?bm1am2?bm2a1n?b1n??a2n?b2n? ??amn?bmn?称为矩阵A与B的和，记为C＝Ａ＋Ｂ． 注意: 只有同型矩阵才能进行加法运算．
设A，B，C，O均为m×n矩阵，容易证明矩阵加法满足下列运算规律： (i) 交换律A+B＝B+A； (ii) 结合律(A+B)+C=A+(B+C); (iii) A+O=A. 设矩阵A＝(aij）m×n，记-A＝(-aij）m×n，称为A的负矩阵，显然有 A+(-A)=O, 由此定义矩阵的减法为
Ａ－Ｂ＝Ａ＋（－Ｂ）．
二、 数与矩阵的乘法 定义2
2设λ是常数，A＝(aij）m×n，则矩阵
?A?A??(?aij)m?n??a11?a12??a21?a22??????am1?am2???amn??a1n??a2n??
称为数λ与矩阵A的乘积．
设A，B为m×n矩阵，λ，μ为数，由定义可以证明数与矩阵的乘法满足下列运算规律： (i) (λμ)A=λ(μA)=μ(λA); (ii) (λ+μ)A=λA+μA;
(iii) λ(A+B)=λA+λB;(iv) 1·A=A,(-1)A=-A. 三、 矩阵与矩阵相乘
定义2.3设矩阵 A?(aij)m?s,B?(bij)s?n, 则m×n矩阵C?(cij)m?n,其中
cij?ai1b1j?ai2b2j??aisbsj??aikbkj
k?1s称为矩阵A与B的乘积，记为C=AB.
由定义可以看出：C=AB中第i行第j列的元素cij等于A的第i行与B的第j列的元素的乘
积之和．必须注意：只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘．其行数与列数之间的关系可简记为 （m×s）（s×n）＝（m×n） 例1 设矩阵
?41?103????A??,B??11???, 210???20???求乘积AB．
解 因为A是2×3矩阵，B是３×２矩阵，A的列数等于B的行数，所以矩阵A与B可以相乘，AB=C是2×2矩阵．由定义2.3有
?41??103???AB?????11??210??20????1?4?(?1)?0?3?21?1?0?1?3?0???? 2?4?1?(?1)?0?22?1?1?1?0?0???101????.?73?例3 设A???11??11?,B????,
??1?1???11?求AB与BA． 解 AB???11??11??00???????,
?1?1?1100???????1?1??11??22?BA????????.
??11???1?1???2?2?一般地AB≠BA．乘积AB有意义时，BA不一定有意义，即使BA有意义，由例2，AB≠BA．由此可知，在矩阵乘法中必须注意矩阵相乘的顺序．AB通常说成“A左乘B”，BA称“A右乘B”．因此，矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB≠BA．
对于两个n阶方阵A，B，若AB＝BA，则称A与B是可交换的．
由例2还可看出：当A，B都不是零矩阵时，但AB＝O，这是矩阵乘法与数的乘法又一不同之处．特别注意：若AB＝O，不能推出A=O或B=O的结论；若AB=AC，A≠O也不能推出B=C的结论．
可以证明，矩阵乘法满足以下运算规律，其中所涉及的运算均假定是可行的． (i) (AB)C=A(BC)(结合律)； (ii) A(B+C)=AB+AC(分配律)； (B+C)A=BA+CA; (ii) λ(AB)=(λA)B=A(λB)(其中λ为数)． 以上性质可以根据矩阵运算的定义得到证明． 用矩阵乘法的定义，线性变换(1.4)可表示为
y=Ax,
其中A为矩阵(1.3)，
?x1??y1?????xyx??2?,y??2?.
????????x?n??yn?例3 设有两个线性变换
?y1?a11x1?a12x2,??y2?a21x1?a22x2, （２．１） ?y?ax?ax,311322?3与
?x1?b11t1?b12t2?b13t3（２．２） ??x2?b21t1?b22t2?b23t3试用矩阵表示从变量t１，t２，t３到变量y１，y２，y３的变换［这个变换称为线性变换(2和(22)的乘积］． 解 记
1)
?a11?A??a21?a?31a12?b?b?a22?,B??1112?b21b22a32??b13??, b23??y1??t1?x??????x??1?,y??y2?,t??t2?,
?x2??y??t??3??3?则线性变换(2.1)和(2.2)可分别表示为：
y＝Ａx， x＝Ｂt,
所以 y＝Ａx＝Ａ（Ｂt）＝（ＡＢ）t．
以上说明，线性变换的乘积仍为线性变换，它对应的矩阵为两线性变换对应的矩阵的乘积．在线性方程组(11)中，记
?a11a12?a21a22?A????am1am2a1n??a2n?, ??amn??x1??b1?????xb2?2???x?,b?, ????????x?n??bm?利用矩阵乘法的定义，则该线性方程组可记为
Ax=b,