上式称为矩阵方程．
特别地，对于单位矩阵，容易验证EmAm×n=Am×n, Am×nEn=Am×n, 简记为 EA=A, AE=A. 有了矩阵的乘法，就可定义n阶方阵的幂．设A是n阶方阵，定义 Ak?AA负整数)，
k个 我们有 AA?Akl?kkl,l(A)?A其中.klk,l为非负整数，但一般地
A(k为非
(AB)k?AkBk.
例4求证
?cos???sin??cos???sin??sin???cosn????cos???sinn??sin???cosk????cos???sink?k?1n?sinn???.
cosn???sink???.
cosk??k证 用数学归纳法证明．当n=1时，等式显然成立．假设当n=k时等式成立，即
k要证当n=k+1时成立，此时
?cos???sin??sin???cos???cos????sin??sin???cos???cos???sin??sin???cos???cosk??sink???cos??sin???????sink?cosk?sin?cos????? ?cosk?cos??sink?sin??cosk?sin??sink?cos?????sink?cos??cosk?sin??sink?sin??cosk?cos????cos(k?1)????sin(k?1)?n?sin(k?1)???.cos(k?1)??所以当n=k+1时结论成立．因此对一切自然数n都有
?cos???sin?四、 矩阵的转置
?sin???cosn????cos???sinn??sinn???.
cosn??定义2.4 将m×n矩阵A＝( aij）m×n的行和列依次互换位置，得到一个n×m矩阵称为A的转置，记为AＴ（或A′)． 例如矩阵
?120?A???
?31?1?的转置矩阵为
?13???AT??21?.
?0?1???矩阵的转置也可看做是一种运算，满足下列规律：
(i) (AＴ）Ｔ＝A; (ii) (A+B)Ｔ＝AＴ＋BＴ； (iii) （λA)Ｔ＝λAＴ（λ为数)； (iv) (AB)Ｔ＝BＴAＴ．
性质(i)～性质(iii)可直接按定义验证，下面只证明(iv)．
证设A＝( aij）m×n， B＝(aij）n×p， AB＝(cij ）m×p.(AB)Ｔ中第i行第j列的元素即AB中第j行第i列的元素，由乘法定义，即为
?ak?1nTTb (j=1,2,…,m; i=1,2,…,p).而 的第i行为(b1i，…，bni)，的第j列为(aj１，ABjkkiTTTTaj２，…，ajn）Ｔ，因此BA 的第i行第j列的元素为 ，表明(AB) 与AB 对应T元素相等．且(AB)是p×m矩阵，也是p×m的矩阵，所以(AB)?AB
TTTT性质(ii)、性质（iv）还可推广到一般情形：(A1?A2??An)T?AT1?AT2??ATn,
(A1A2An)T?ATnATn?1TA1T,
定义2.5 设A为n阶方阵，如果满足A＝A，即
aij??aji(i,j=1,2,…,n),那么A称为对称阵，其特点是它的元素以主对角线为对称轴对
应相等．
例如
3??21??A??1?1?4?
?3?40???即为对称阵．
定义2
6若n阶方阵满足 A＝－A，即
Taij??aji (i,j=1,2,…,n)，则称A为反对称阵．据此定义，应有aii??aii (i=1,2,…,n),即
aii?0 ，表明主对角线上的元素全为零．
例如
?013???A???10?2?
??320???为反对称阵．
例5 设列矩阵x?(x1,x2,xn)T 满足 xTx?1,E为n阶单位矩阵，
H?E?2xxT证明H是对称阵，且HHT?E.
TTTTHT?(E?2xx)?ET?(2xx)证
TT?E?2(xx)?E?2xTx?H,
所以H是对称阵．
HHT?H2?(E?2xxT)(E?2xxT)?E?4xxT?4(xxT)(xxT)?E?4xxT?4x(xTx)xT?E?4xxT?4xxT?E.五、 方阵的行列式
定义2.7由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵A的行列式，记为｜A｜．
注意 方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是n２个数按一定的顺序排成的数表，而n阶行列式则是n２个数按一定的运算法则所确定的一个数． 方阵的行列式有下列性质： (i) (ii)
AT?A(行列式的性质1)；
?A??nA;
B
(iii) AB?A其中A，B为n阶方阵，λ为数．
性质(i)和性质(ii)由行列式的性质容易验证．下面我们证明性质(iii)． 证 设A＝（aij ），B＝（bij ），记2n阶行列式
a11an1?1a1noannb11?1bn?1b1nbnnAOD??-EB,
由第一章第三节中的例4可知D=｜A｜｜B｜,而在D中以b1j乘第1列，b2j乘第2列，……bnj乘第n列，都加到n+j列上(j=1,2,…,n)有
D?AC-EO,
?bnjain,,故C=AB.
其中 C?(cij),cij?b1jai1?b2jai2?再对D的行作 rj?rn?j(j=1,2,…,n)有
D?(?1)n-EOAC.
由第一章第三节中例4有
D?(?1)n?EC?(?1)n(?1)nEC?C?AB,
所以｜AB｜=｜A｜｜B｜．
对于n阶方阵A，B，一般来说AB≠BA,但总有｜AB｜=｜BA｜=｜A｜｜B｜. 例6 利用行列式证明
(a2?b2)(a12?b12)?(aa1?bb1)2?(ab1?a1b)2.
证
aba1b1(a?b)(a?b)??ba?b1a1222121?
aa1?bb1ab1?a1b?(aa1?bb1)2?(ab1?a1b)2.?a1b?ab1bb1?aa1
第三节 逆矩阵
我们先来看一个具体问题． 设有从变量组 x1,x2,xn,到变量组y1,y2,yn,的线性变换
?y1?a11x1?a12x2??y?ax?ax??2211222????yn?an1x1?an2x2??a1nxn,?a2nxn,?annxn, （３．１）
?a11a12?aa22A??21???an1an2a1n??x1??y1??????a2n?xy2,x???,y??2?, ??????????ann?x?n??yn?则(3.1)式可记为
y=Ax .(3.2)
若｜A｜≠0，则可用克莱姆法则解得：y1,y2,yn, 表示x1,x2,xn, 的线性表达式
?x1?b11y1?b12y2??x?by?by??2211222????xn?bn1y1?bn2y2?
?b1nyn,?b2nyn,?bnnyn,
（３．3）这就是从变量组y1,y2,yn, 到变量组x1,x2,xn, 的逆变换，记
?b11?B???b?n1则(3
b1n???, bnn??3)式可记为
x=By. (3.4) 把(3.4)式代入(3.2)式有
y=A(By)=(AB)y，
这个线性变换是一个恒等变换，于是AB=E(E为n阶单位阵)． 把(3.2)式代入(3.4)式有 x=By=B(Ax)=(BA)x， 这也是一个恒等变换，于是
BA=E,
因此线性变换(31)与其逆变换(33)的矩阵A与B满足
AB=BA=E．
定义31设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得
AB=BA=E，
则称方阵A是可逆的，称B是A的逆矩阵或逆阵． 由定义31可知： (i) 若B是A的逆矩阵，则A也是B的逆矩阵． (ii) 若线性变换(31)有逆变换(33)，则(33)的矩阵必定是(3(iii) 若方阵A有逆矩阵，则A的逆阵是唯一的．
事实上，若B，C都是A的逆矩阵，则AC=E，BA=E，于是 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C. A的逆矩阵(如果存在)记为A ，依定义3.
?11)的矩阵的逆矩阵．
1，有
AA?1?A?1A?E,．