可如下分块：
?a11?A??a21?a?31其中Aij是子块的记号．
a12a22a32a13a23a33a14???Aa24???11?A21a34??A12??, A22?一个矩阵可以按不同的方式分块，上述矩阵A也可如下分块：
?a11?A??a21?a?31a12a22a32a13a23a33a14???Aa24???11A21??a34?A12A22A13??. A23?又如 A?(aij)m?n按行分块得
?a11a12?aa22A??21???am1am2其中Ai?(ai1ai2a1n??A1????a2n??A1??, ??????amn??Am?ain),i=1,2,…,m.
A?(aij)m?n按列分块为
?a11a12?a21a22?A????am1am2其中Bj?(a1ja2j定．
a1n??a2n??(B1B2??amn?Bn),
amj)T，j=1,2,…,n.究竟采用哪种方式分块，要根据矩阵的具体运算来确
二、 分块矩阵的运算
分块后的矩阵，把小矩阵当作元素，按普通的矩阵运算法则进行运算． (1) 设A，B是两个m×n矩阵，且用相同的分块法，得分块矩阵为
?A11?A???A?s1A1r??B11??,B?????BAsr??s1B1r???, Bsr??其中各对应的子块Aij与Bij有相同的行数和列数，则
?A11?B11?A?B???A?Bs1?s1A1r?B1r???（４．１）
Asr?Bsr??设λ为数，
??A11?A?A??????A?s1?A11? A???A?s1??.（４．２） ?Asr??Br?1??, Bsr??Ait的列数分别等于
?A1r?(2) 设A为m×l矩阵，B为l×n矩阵，分块为
Ar1??B11??,B?????BAsr??s1此处A的列数的分法与B的行数的分法一致，即 Ai1,Ai2,B1j,B2j,Btj的行数,则
?C11?AB?C???C?s1其中 Cij?C1r???,（４．３） Csr???Ak?1tikBkj(i=1,2,…,s;j=1,2,…,r).
(3) 设A分块为
?A11?A???A?s1则
A1r???, Asr???AT11?AT???AT1r?ATs1???, (4.4) ATsr??(4) 若方阵A分块为
?A1?A?????A2??? (未写出的子块都是零矩阵)， ??As?其中只有在对角线上有非零子块，其余的子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，此时称A为分块对角矩阵，则有
1°｜A｜＝｜Ａ１｜｜Ａ２｜…｜Ａs｜； 2°当｜Ai｜≠0(i=1,2,…，s)时，有
?A1?1?A?1?????? 若
A?12???, ???1?As??A1?A?????
A2??B1??B2?,B??????As????? ??Bs?是两个分块对角矩阵，其中Ai与 Bi是同阶方阵，则
?A1?B1?A?B???????A1B1?AB??????A2?B2???（４．６） ??As?Bs????? (4.7) ??AsBs??A2B2由以上可看出，对于能划分为分块对角矩阵的矩阵，如果采用分块来求逆阵或进行运算是十
分方便的．
例1 设
?1??0A??0??1??2?求AB． 解
0000???12??1000??400100?,B??01??2010???20?2?10001???10??01?00?,
?00?00???1??0A??0??1??2?0000??1000??E2?0100????A12010?0001??O??, E3???12??40B??01???20?2?1?10??01??B100?????B200?00??E2??, O??E2AB???A1O??B1??E3??B2E2??B1???O??A1B1?B2E2??, A1??01??01??41?????12?????A1B1?B2??12??????20???52?,
??20??40??2?1??4?5???????所以
??121??400AB??410??521?4?5?2?例2 设
0??1?1?. ?2?0???3??0A??0??0?0?求A．
?10000??0100?2500?,
?0010?0001??解 将A分块如下：
?3??0A??0??0?0?其中
0000??0100??A1?2500????0010???0001??A2?? ?,E2???01??10?A1?(3),A2??,E??2??,
2501????由于
?55?1??11??2A1?1?(),A2?1?????32??20???11??12?,E2?E2, ?0?所以
?A1?1?A?1?????A2?1?1?30???50???2???01E2?1????00??00?00??100??. 2?000?010??001?0例4 设A，C分别为r阶和s阶可逆矩阵，求分块矩阵
?AB?X???
OC??的逆矩阵．
解 设逆矩阵分块为
?XX?1??11?X21即
X12??AB??X11?1,XX?????XX22?OC???21AX12?BX22??Er???CX22??OX12???E, X22??AX11?BX21?CX21?O??, Er?比较等式两边对应的子块，有
?AX11?BX21?Er,?AX?BX?E,?1121r． ?CX?O,21??CX21?Es.?注意到A，C可逆，可解得
X22?C?1,X21?O,X11?A,X12??ABC.所以
?1?1?1
X
?1?A?1?A?1BC?1????. ?1C?O?第五节 矩阵的秩与矩阵的初等变换
一、 矩阵的秩
定义5.1 在m×n矩阵A中，任取k行k列(k≤min｛m，n｝），位于这些行列交叉处的 k2kk个元素按原来的次序所构成的k阶行列式，称为A的k阶子式．矩阵 Am?n共有 CmCn个