下面给出方阵存在逆矩阵的条件及逆阵的求法．
定理3.1 n阶方阵A可逆的充分必要条件是｜A｜≠0．且当A可逆时，有
A?1?其中
1?A,A
?A11?A?A??12???A1nA21A22A2nAn1??An2?, ??Ann?称为A的伴随矩阵，其中Aij 是｜A｜的元素 aij的代数余子式． 证 必要性．设A可逆，即A存在，则
?1AA?1?E，
于是AA?1?A?1A?E?1，所以｜A｜≠0． 充分性．设｜A｜≠0， 注意到
ai1Aj1?ai2Aj2??a1iA1j?a2iA2j???A,?A?ij??0,??因此，
?ainAjn?aniAnj i?j,i?j,1?11n?A(A)?(AA)?(?aikAjk)n?nAAAk?11?(A?ij)n?n?(?ij)n?n?E,A1?11n?(A)A?(AA)?(?Aikajk)AAAk?1??1
1(A?ij)n?n?(?ij)n?n?E,A
所以 A存在，且
A?1?1?A, A推论若A，B都是n阶方阵，且AB＝E，则BA=E．
证 因为AB=E，所以｜ＡＢ｜=｜A｜｜B｜=｜E｜=1,由此可知｜A｜≠0，｜B｜≠0，于是根据定理31，A，B都可逆，从而
AB?E?A?1(AB)A?A?1EA?(AA)(ΒΑ)?AA?BA?E.?1?1
这个推论说明，要验证B是A的逆矩阵，只需验证AB=E或BA=E其中的一个就可以了． 定义32 设A为方阵，若｜A｜≠0，则称A为非奇异方阵；若｜A｜=0，则称A为奇异方阵．
由定理31知，可逆方阵即为非奇异方阵． 方阵的逆具有以下性质：
(i) （ii）
若A可逆，则(A)?1?1?A;；
?1若A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且 (?A)?1?A?1;
（iii） 若A，B为同阶方阵，且A，B都可逆，则AB可逆，且
(AB)?1?B?1A?1
T（iv） 若A可逆，则 A可逆，且 (A)T?1?(A?1)T；
（v）
若A可逆，则A?1?1?1?A ． A我们只证明性质(ii)、性质(iii)，其他结论读者可以自己证明． 证(ii) 设A为n阶方阵，因为A可逆，λ≠0，所以｜λA｜=λn｜A｜≠0，从而λA可逆，且由
11(?A)(A?1)???(AA?1)?E,，
??所以
(?A)?1?1?A?1．
证(iii) A，B均可逆，可知｜A｜≠0，｜B｜≠0，从而｜AB｜=｜A｜｜B｜≠0，所以
AB可逆．因为
(AB)?B?1A?1??A(BB?1)A?1?AEA?1?AA?1?E,，
所以(AB)?1?B?1A?1 ．
性质(iii)可推广为： 设 A1,A2,,An都是n阶可逆阵，则A1,A2,An)?1?An?1An?1?1A1?1．
,An 可逆，且
(A1A2例1设
?1?12A?????2?1?2??,
??433??求A?1 解 经计算
1?12A??2?1?2?1?0,
433已知A可逆，且
A?21211??133?3,A21???33?9,A??1231?1?2?4,A??2?212?43??2, A1222?43??5,A232??1?2?2??2, A?2?113?43??2,A123??1?43??7,A1?133??2?1??3,故
4 A?1?1?39?AA?????2?5?2???. ??2?7?3??例2 设
?1?12???2A????2?1?2??24???,B???,C??0??01??, ?433????3?5???1?3??解矩阵方程AXB＝Ｃ．
解 因为｜A｜=1≠0，｜B｜=2≠0，所以A?1，B?1 存在，分别以A?1，B?1矩阵方程的两边，得
A?1(AXB)B?1?A?1CB?1,
于是
X?A?1CB?1.．
左乘与右乘
由例1有
4??39??A?1???2?5?2?,
??2?7?3????5?1?1??5?4??2?1B?B?????B2?32??3??2所以
??2??, 1???4???20???5?39?????2?1?1X?ACB???2?5?2??01??3??2?7?3??1?3????????2?1??1?2???7????3?.?2???1?0????2?例3已知方阵A满足
??2??1???
A2?2A?3E?O,
E)． 试证A与A-3E都可逆，并求A与 (A?3?1?1证 由A?2A?3E?O, 得A(A-2E)＝－３Ｅ，故
2?1?A??(A?2E)??E, ?3?因此A可逆，且 A2?11??(A?2E).
3又由A?2A?3E?O, 得(A+E)(A-3E)＝－6Ｅ，故
?1??(A?E)(A?3E)?E,， ??6??因此A-3E可逆，且(A?3E)例4设P???11??(A?E).
6?12??10?n求． A,Λ?AP?PA????14??02?解｜Ｐ｜＝２， P?1?1?4?2???. 2??11?An?PΛnP?1,
A?PΛP?1,A2?PΛP?1PΛP?1?PΛ2P?1,而易验证
?1nΛ???0n0??1???2n??00??, 2n?故
2n?1??12??10?1?4?2??2?2nA??.??. ?????n?n?1n?11402?1122?1????????2?2n最后，我们给出以下结论，而把证明留给读者． (1) 设
??1??2Λ?????则
???(未写出的元素都为零)， ???n???? (k为正整数)； ??k??n???k1?k?k2Λ??????(2) 当｜A｜≠0时，定义
A0?E,A?k?(A?1)k(k为正整数)，
设λ，μ都是整数，有
A?A??A???,(A?)??A??．
第四节分块矩阵
一、 分块矩阵
定义4.1用若干条纵线和横线把A分成若干个小块，每一个小块构成的小矩阵称为A的子块；以子块为元素的矩阵称为A的分块矩阵． 例如
?a11?A??a21?a?31a12a22a32a13a23a33a14??a24?, a34??