定理52′如果齐次线性方程组(53)有非零解，则它的系数行列式必为零．定理52′说明系数行列式D＝０是齐次线性方程组有非零解的必要条件，在后面还将证明这个条件也是充分的．
例2 问λ取何值时，齐次线性方程组
??(5??)x?2y?2z?0???0 ?2x?(6??)y??2x?(4??)z?0??有非零解?
解 齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D＝０，
5??D?2226??0204??
＝（５－λ）（６－λ）（４－λ）-4(4-λ)-4(6-λ)
＝（5-λ)(2-λ)(8-λ),由Ｄ＝０得： λ＝２,λ＝５,λ＝８．
第六节典型例题
例1 证明：
ax?byay?bzay?bzaz?bxaz?bxax?by
az?bxax?byay?bzxyzxzx. y3?(a3?b3)yz证明 利用性质5，把行列式拆成2个行列式的和，除两个外，其余均因有两行成比例而等于零，即
axayazayazazx左边?a3yzaxayyzxbybzbxbxbybzzyx?b3zyyzxxzx.yzxyxy zax?bzbxbyx?(a3?b3)yz例2计算行列式
Dn?????0?????0????000000000000
???????解按第1列展开，可得Dn与其同类型的较低阶行列式的关系.
?0????Dn?(???)Dn?1??(?1)1?200?(???)Dn?1?2?Dn?2,000000???? ????即Dn－αDn－1=β(Dn－1－αDn－2)，
或Dn－βDn－1=α(Dn－1－βDn－2). 由此递推下去，得
Dn－αDn－1=β(Dn－1－αDn－2)=β·β(Dn－2－αDn－3)=…=βn－2(D2－αD1). 而D2?????(???)2?????2??2???,
????n?22n代入上式，得Dn??Dn?1?????.（1） n同理，可得Dn??Dn?1??..（2）
当α≠β时，由（1）式、（2）式解得
?n?1??n?1Dn?.
???当α=β时，由（1）式或（2）式递推下去，得
Dn?(n?1)?n.
例3计算n阶行列式
x1a1a1a1a1解
a2x2a2a2a2a3a3x3a3a3an?1an?1an?1xn?1an?1ananananxnDn?(xi?ai,i?1,,n),
Dn?x1a1?x1a1?x1a2x2?a20x1x1?a1?1?11??nan0xn?ana2x2?a210
??(xi?ai)i?1nanxn?an01a2x2?a21anxn?an01
??(xi?ai)i?1nk?1akxk?aknak?(1??)?(xi?ai)k?1xk?aki?1n例4计算行列式
11Dn?x1x2x21x22x2n?1x2nx1n?2x2n?2xn?1n?2xnn?2x1nx2n. xn?1nxnn1xn?11xn
解 只需在Dn中加上最后一行和最后第二列，就变成n+1阶范德蒙行列式的转置行列式的转置行列式
1x11x2Dn?1?1xn1y于是有
x21x22xn2y2nx1n?2x2n?2xn?1nyn?2x1n?1x2n?1xn?1nyn?1(xi?xj)x1nx2n
xn?1nynDn?1?DTn?1??(y?xi)i?1n?ij?1??(y?x1)(y?x2)n??y??(x1?x2?(y?xn)n?ij?1?(xi?xj)?(?1)nx1x2xn??.
?xn)yn?1?n?ij?1?(xi?xj)若把Dn+1按最后一行展开得
Dn?1?anyn?yn?1(?1)n?1?nDn??anyn?(?Dn)yn?1?而yn?1?a0?a0.
的系数恰好是(－Dn).比较上式两边ynn?1的系数，便得
Dn?(?xi)i?1n?ij?1?(xi?xj).
例5
1234555533设A?32542,
2221146523求（1）A31?A32?A33;（2）A34?A35. 解将A中第三行的元素依次换成5，5，5，3，3.则第二行与第三行的对应元素相等，于是行列式的值等于0.按第三行展开，则有
5(A31?A32?A33)?3(A34?A35)?0（1）
同理，将A中第三行的元素换成第四行的对应元素，按第三行展开则有
2(A31?A32?A33)?A34?A35?0（2）
解（1），（2）联立方程组，得
A31?A32?A33?0,A34?A35?0.
第二章 矩阵
第一节矩阵的概念
引例1在平面解析几何中，当坐标轴逆时针旋转θ角时，新旧坐标之间存在如下的变换公式：
x＝x′cosθ－y′sinθ， y=x′sinθ＋y′cosθ．
显然，这种新旧坐标之间的关系完全可以由公式中的系数所构成的数表
?cos???sin??sin??? cos??确定．
引例2线性方程组
?a11x1?a12x2??ax?ax?211222???????am1x1?am2x2??a1nxn?b1,?a2nxn?b1, （１．１）
?amnxn?bm,其中xi（i＝１，２，…，n）代表n个未知量，m是方程的个数，aij（i＝１，２，…，m;j＝１，２，…，n）称为方程组的系数，bi（i＝１，２，…，m）称为常数项．为了便于研究和求
解线性方程组，我们把系数和常数项取出并按原来的位置排成下列数表:
?a11a12??a21a22???am1am2这样的数表称为矩阵 定义1
a1na2namnb1??b2? （１．２） ??bm?1由m×n个数aij (i=1,2,…，m;j=1,2,…，n)排成m行n列的
a11a21am1a12a22am2a1na2namn
称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵．为了表示它是一个整体，总是加一个括弧(中括弧或小括弧)，并用大写黑体字母表示它，记作
?a11a12?aa22A??21???am1am2a1n??a2n?, ??amn?3)也可简记为A＝(aij）m×n
（１．３）其中aij表示矩阵第i行第j列的元素．矩阵(1或A＝(aij），m×n矩阵A也记为Am×n．
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵．本书中除特别声明外，都是指实矩阵
．当m=n时，A称为n阶方阵． 只有一行的矩阵
A=(a1a2有一列的矩阵
an）称为行矩阵，为了避免元素间的混淆，行矩阵一般记作A=(a1,a2,,an）．只