1??a?(n?1)b?.bb0a?b
0a?b00??a?(n?1)b?.(a?b)n?1
例3计算行列式
aD?aba?bca?b?cda?b?c?d4a?3b?2c?d.
a2a?b3a?2b?ca3a?b6a?3b?c10a?6b?3c?d解从第4行开始，后行减前行，得
abD?0aca?bda?b?c.
0a2a?b3a?2b?c0a3a?b6a?3b?c
ab?0000ab?0000caaca0da?b?c2a?b6a?3b?cd2a?ba?a4 .
0aa?b0aa?ba?b?c可见，计算高阶行列式时利用性质将其化为上三角行列式，既简便又程序化． 例4设
a11ak1c11cn1a1kakkc1kcnkb11bn1b1nbnnD?,
a11D1?det(aij)ak1b11D2?det(bij)bn1证明：D?D1D2.
a1k, akkb1n, bnn证 对D1作运算ri?krj，把D1化为下三角行列式，设为
P11D1?Pk1Pkk?p11pkk;
对D2作运算ci?kcj，把D2化为下三角行列式，设为
q11D2?qn1qnn?q11q22qnn.
于是，对D的前k行作运算ri?krj，再对后n列作运算ci?kcj，把D化为
p11pk1c11cn1
第四节行列式按一行(列)展开
将高阶行列式化为低阶行列式是计算行列式的又一途径，为此先引进余子式和代数余子式的概念．
在n阶行列式中，划去元素aij所在的行和列，余下的n-1阶行列式(依原来的排法)，称为元素aij的余子式，记为Mij.余子式前面冠以符号(-1)i+j，称为元素aij的代数余子式，记为Aij＝（－１）i+jＭij.
例如四阶行列式
D?pkkc1kcnkq11qn1qnn?p11pkkq11qnn?D1D2
a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44
中元素a23的余子式和代数余子式分别为
a11M23?a31a41
a12a32a42a14a34; a44A23?(?1)2?3M23??M23
引理一个n阶行列式D，如果第i行所有元素除aij外全为零，则行列式
D?aijAij.
证 先证aij位于第1行第1列的情形，此时
D?a11a210a220a2nann,
an1an2这时第三节例4中当k=1时的特殊情形，按第三节例4的结论有
D?a11M11?a11A11.
再证一般情形，此时
a11D?0an1a1jaijanja1n0. ann我们将D作如下的调换：把D的第i行依次与第i-1行，第i-2行，…，第1行对调，这样数aij就调到了第1行第j列的位置，调换次数为i-1次；再把第j列依次与第j-1列，第j-2列，…，第1列对调，数aij就调到了第1行第1列的位置，调换次数为j-1，总共经过(i-1)+(j-1)次对调，将数aij调到第1行第1列的位置，第一行其他元素为零，所得的行列式记为D１，则，而aij在D１中的余子式仍然是aij在D中的余子式Mij，利用前面的结果，有
D1?aijMij
于是 D?(?1)i?jD1?(?1)i?jaijMij?aijAij
定理4.1行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 Ｄ＝ai１Ai１＋ai2Ai2＋…+ainAin(i=1,2,…，n), 或
Ｄ＝a１jA１j＋a2jA2j＋…+anjAnj(j=1,2,…，n)． 证
a11D?ai1?0?an1a11?ai1an1a120an2a1na11a12?00?ai2?0?an2a12ai2a1n0?ann?00?a1n?0?ain anna11?0a120a1nain, ann0?0annan1an2an1an2根据引理有
Ｄ＝ai1Ai1＋ai2Ai2＋…+ainAin＝∑nk=1aikAik(k=1,2,…，n)． 类似地，我们可得到列的结论，即
Ｄ＝a1jA1j＋a2jA2j＋…+anjAnj＝∑nk=1akjAkj(j=1,2,…，n)．这个定理称为行列式按行(列)展开法则，利用这一法则并结合行列式的性质，可将行列式降阶，从而达到简化计算的目的．
例1再解第三节中例1．
2解 D??57?9?61?12120011121
0630?3544?1?7122?2?1?1?(?1)1?31226?30013?1?10213?1013?10
?(?1)1?1?(?3)＝－３×（－１）×（－１）×３＝－９． 例2计算行列式
an0a1D2n?0c10cn
解 按第1行展开有
bnb10d1
dnan?10a1D2n?an0c1cn?100an?10a1?bn?(?1)1?2n0c10cncn?100d1b10d1b1bn?100
dn?100dnbn?10
dn?10?andnD2(n?1)?bncnD2(n?1)?(andn?bncn)D2(n?1),,
以此作递推公式，得